垂直轨道（Vertical Orbit）

本文作者：天疆说

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定义

垂直轨道（Vertical Orbit）是环绕平动点的三维周期轨道族，属于平动点轨道（Libration Point Orbit, LPO）的重要类别之一。与 Lyapunov 轨道的平面运动不同，垂直轨道在 $z$ 方向具有显著的周期振荡分量，同时在 $xOy$ 平面内也保持一定的运动幅度，形成独特的三维空间构型。垂直轨道存在于地月系统的 L1、L2、L3 共线平动点以及 L4、L5 三角平动点附近。

核心要素

垂直轨道的动力学特性

垂直轨道在 CR3BP 框架下具有以下特性：

• 三维运动：垂直轨道在 $x$、$y$、$z$ 三个方向均具有非零振幅，其中 $z$ 方向的振荡是其命名的来源，也是与 Lyapunov 轨道最显著的区别
• 周期性：垂直轨道是严格周期轨道，在会合坐标系中精确闭合
• 对称性：标准垂直轨道关于 $xOz$ 平面对称
• 振幅参数化：垂直轨道族可通过 $z$ 方向振幅参数化，不同振幅对应不同能量水平（Jacobi 常数）和轨道周期

垂直轨道的分类

根据地月系统中的平动点位置，垂直轨道可分为以下族：

轨道参数特征

以地月系统为例，垂直轨道族的主要参数范围如下（基于 Guzzetti 等人的动态目录统计）：

垂直轨道的 Jacobi 常数与轨道周期之间存在非线性关系，随着振幅增大，轨道能量降低（Jacobi 常数减小），周期相应变化。

垂直轨道与其他平动点轨道的关系

垂直轨道与 Lyapunov 轨道、Halo 轨道、轴向轨道（Axial Orbit）等同属平动点轨道家族：

• 与 Lyapunov 轨道的关系：Lyapunov 轨道严格位于 $xOy$ 平面内，可视为垂直轨道在 $z$ 方向振幅趋于零时的退化形式
• 与 Halo 轨道的关系：Halo 轨道关于 $xOz$ 平面对称，而垂直轨道在 $y$ 方向也有显著振幅；两者均具有三维特性，但几何构型不同
• 与轴向轨道的关系：轴向轨道和垂直轨道均具有三维特性，但主导振荡方向不同

稳定性分析

垂直轨道的稳定性因所属平动点不同而异：

• L1、L2、L3 附近的垂直轨道通常具有不稳定模态，需要轨道维持机动
• L4、L5 附近的垂直轨道由于三角平动点本身的稳定性，部分成员可能具有较好的长期稳定性
• 稳定性指数（Stability Index）是评估垂直轨道局部稳定性的关键指标，指数越接近 1 表示轨道越稳定

应用价值

垂直轨道在地月空间任务中具有以下潜在应用价值：

• 科学观测平台：垂直轨道的三维特性使其能够提供独特的观测几何，适合空间科学和天文观测任务
• 通信中继：L1/L2 垂直轨道可用于地月通信中继，覆盖月球正面和背面
• 轨道转移通道：垂直轨道的稳定和不稳定流形可作为低能量转移通道，连接不同区域的地月空间
• 任务设计参考：作为平动点轨道分类体系的重要组成部分，垂直轨道是理解地月动力学结构和设计复杂任务轨迹的基础

相关概念

• Halo 轨道（Halo Orbit）
• Lyapunov 轨道（Lyapunov Orbit）
• 轴向轨道（Axial Orbit）
• Lissajous 轨道（Lissajous Orbit）
• 圆形限制性三体问题（CR3BP）

参考文献

• Guzzetti D, Bosanac N, Howell K C. A framework for efficient trajectory comparisons in the Earth-Moon design space[C]. AAS/AIAA Space Flight Mechanics Meeting, 2014.
• Doedel E J, Romanov V A, Paffenroth R C, et al. Elemental periodic orbits associated with the libration points in the circular restricted 3-body problem[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos, 2007, 17(8): 2625-2677.
• Richardson D L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J]. Celestial Mechanics, 1980, 22(3): 241-253.