本文作者：天疆说
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引力位（gravitational potential，又称引力势）是描述天体引力场的标量势函数 U ( r ) U(\mathbf{r}) U ( r )
g ( r ) = ∇ U ( r ) \mathbf{g}(\mathbf{r}) = \nabla U(\mathbf{r}) g ( r ) = ∇ U ( r )
引力位提供了比矢量场更紧凑的数学描述：一个标量函数便携带了引力场的全部信息[382] 。航天器在引力场中的势能 V V V U = − V / m U = -V/m U = − V / m
点质量位。 将中心天体视为质点或匀质球体时，U = μ / r U = \mu / r U = μ / r μ = G M \mu = GM μ = GM r r r ∇ U \nabla U ∇ U − μ r ^ / r 2 -\mu \,\hat{\mathbf{r}} / r^2 − μ r ^ / r 2
真实天体不是匀质球体，其质量分布的不均匀和形状的非球形使实际引力偏离点质量模型。对外部空间一点 P ( r , ϕ , λ ) P(r, \phi, \lambda) P ( r , ϕ , λ ) r r r ϕ \phi ϕ λ \lambda λ [382] [115] ：
U ( r , ϕ , λ ) = μ r [ 1 + ∑ ℓ = 2 ∞ ∑ m = 0 ℓ ( R r ) ℓ P ˉ ℓ m ( sin ϕ ) ( C ˉ ℓ m cos m λ + S ˉ ℓ m sin m λ ) ] U(r,\phi,\lambda) = \frac{\mu}{r} \left[ 1 + \sum_{\ell=2}^{\infty} \sum_{m=0}^{\ell} \left(\frac{R}{r}\right)^{\!\ell} \bar{P}_{\ell m}(\sin\phi) \bigl( \bar{C}_{\ell m} \cos m\lambda + \bar{S}_{\ell m} \sin m\lambda \bigr) \right] U ( r , ϕ , λ ) = r μ [ 1 + ℓ = 2 ∑ ∞ m = 0 ∑ ℓ ( r R ) ℓ P ˉ ℓ m ( sin ϕ ) ( C ˉ ℓ m cos mλ + S ˉ ℓ m sin mλ ) ]
其中 R R R a e a_e a e P ˉ ℓ m \bar{P}_{\ell m} P ˉ ℓ m C ˉ ℓ m \bar{C}_{\ell m} C ˉ ℓ m S ˉ ℓ m \bar{S}_{\ell m} S ˉ ℓ m ℓ = 2 \ell = 2 ℓ = 2 ℓ = 0 \ell = 0 ℓ = 0 μ / r \mu/r μ / r ℓ = 1 \ell = 1 ℓ = 1
按阶数 m m m ℓ \ell ℓ [382] [115] ：
类型 条件 几何特征 物理含义 带谐项（zonal） m = 0 m = 0 m = 0 仅随纬度变化，对称于极轴 赤道扁率（J 2 J_2 J 2 J 3 J_3 J 3 扇谐项（sectoral） ℓ = m \ell = m ℓ = m 仅随经度变化，呈橙瓣状 经度方向的质量集中 田谐项（tesseral） ℓ ≠ m ≠ 0 \ell \neq m \neq 0 ℓ = m = 0 随纬度和经度同时变化，呈棋盘状 特定区域的质量异常
J 符号惯例。 带谐项常用 J ℓ J_\ell J ℓ C ℓ , 0 C_{\ell,0} C ℓ , 0 J ℓ = − C ℓ , 0 J_\ell = -C_{\ell,0} J ℓ = − C ℓ , 0 [382] 。地球的 J 2 ≈ 1.0826 × 10 − 3 J_2 \approx 1.0826 \times 10^{-3} J 2 ≈ 1.0826 × 1 0 − 3 J 3 J_3 J 3
归一化。 原始系数 C ℓ m C_{\ell m} C ℓ m S ℓ m S_{\ell m} S ℓ m ℓ \ell ℓ m m m C ˉ ℓ m \bar{C}_{\ell m} C ˉ ℓ m S ˉ ℓ m \bar{S}_{\ell m} S ˉ ℓ m
C ˉ ℓ m = ( ℓ + m ) ! ( ℓ − m ) ! k ( 2 ℓ + 1 ) C ℓ m , k = { 1 m = 0 2 m ≠ 0 \bar{C}_{\ell m} = \sqrt{\frac{(\ell+m)!}{(\ell-m)!\,k\,(2\ell+1)}} \; C_{\ell m}, \qquad k = \begin{cases} 1 & m=0 \\ 2 & m \neq 0 \end{cases} C ˉ ℓ m = ( ℓ − m )! k ( 2 ℓ + 1 ) ( ℓ + m )! C ℓ m , k = { 1 2 m = 0 m = 0
对应的勒让德函数也需反向归一化以保证乘积 C ˉ ℓ m P ˉ ℓ m = C ℓ m P ℓ m \bar{C}_{\ell m} \bar{P}_{\ell m} = C_{\ell m} P_{\ell m} C ˉ ℓ m P ˉ ℓ m = C ℓ m P ℓ m [382] 。
大地测量学将引力位分解为参考部分和偏离部分[382] ：
正常引力位 V V V ：由一个旋转对称椭球体（正常地球）产生的引力位，只含偶阶带谐项。
扰动引力位 T T T ：真实位与正常位之差 T = U − V T = U - V T = U − V δ g = ∇ T \delta\mathbf{g} = \nabla T δ g = ∇ T 200 mgal 200\ \text{mgal} 200 mgal 10 − 5 m/s 2 10^{-5}\ \text{m/s}^2 1 0 − 5 m/s 2
特性 地球 月球 J 2 J_2 J 2 ∼ 1.08 × 10 − 3 \sim 1.08 \times 10^{-3} ∼ 1.08 × 1 0 − 3 ∼ 2.03 × 10 − 4 \sim 2.03 \times 10^{-4} ∼ 2.03 × 1 0 − 4 高阶场不规则程度 相对平滑 显著更强 ：正面存在质量瘤（mascon），高阶系数衰减更慢对低轨道影响 J 2 J_2 J 2 高阶项（ℓ \ell ℓ < 100 km <100\ \text{km} < 100 km 代表性模型 EGM2008（2190 阶） GRGM660PRIM（660 阶）
月球引力场的不规则性是地月空间任务设计的关键约束：低月球轨道（LLO）的高度如果低于约 100 km，引力不规则性会使单脉冲难以维持稳定轨道[378] 。
Chao, B. F. & Shih, S. A., 2021, Multimultipole expansion: Unifying formalism for Earth and planetary gravitational dynamics, Surveys in Geophysics , 42: 803–838. 复变球谐引力场表示。 