Lissajous 轨道（Lissajous Orbit）

本文作者：天疆说
本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

Lissajous 轨道（Lissajous Orbit）是环绕平动点的准周期轨道，不闭合但保持在有限区域内。其名称来源于法国物理学家 Jules Antoine Lissajous 研究的利萨如图形——在旋转坐标系中，Lissajous 轨道的投影形状类似于利萨如曲线。与 Halo 轨道不同，Lissajous 轨道不具有对称性，且不精确闭合。

核心要素

Lissajous 轨道的动力学特性

Lissajous 轨道在 CR3BP 框架下的关键特性包括：

准周期性：轨道不闭合，在会合坐标系中逐渐遍历一个环形区域，形如"毛线团"
非对称性：与 Halo 轨道的对称性不同，Lissajous 轨道不具有关于 $xOz$ 平面的对称性
频率不共振：Lissajous 轨道的平面内振荡频率 $\omega_{xy}$ 与 $z$ 方向振荡频率 $\omega_z$ 不满足共振关系，即 $\omega_z / \omega_{xy} \neq 1$
有界运动：尽管不闭合，轨道始终保持在平动点附近的有限区域内

Lissajous 轨道与 Halo 轨道的区别

特征	Halo 轨道	Lissajous 轨道
周期性	精确周期，闭合	准周期，不闭合
对称性	关于 $xOz$ 平面对称	无对称性
频率关系	$\omega_z / \omega_{xy} = 1$	$\omega_z / \omega_{xy} \neq 1$
轨道形状	三维环状	三维准周期缠绕
控制需求	需要维持控制	需要维持控制（且更复杂）

Lissajous 轨道可以看作 Halo 轨道的"推广"——当平面内和 $z$ 方向的频率比不为 1 时，周期轨道退化为准周期轨道。

Lissajous 轨道的线性近似

在平动点附近的线性化框架下，Lissajous 轨道的运动可分解为三个模态：

x(t) = A_{xy} \cos(\omega_{xy} t + \phi_{xy}) + \text{非线性修正}

z(t) = A_z \cos(\omega_z t + \phi_z) + \text{非线性修正}

其中 $A_{xy}$ 和 $A_z$ 分别为平面内和 $z$ 方向的振幅， $\phi_{xy}$ 和 $\phi_z$ 为初始相位。由于 $\omega_{xy}$ 和 $\omega_z$ 不可通约，轨道永不闭合。

稳定性与控制

与 Halo 轨道类似，Lissajous 轨道也是不稳定的，需要轨道维持控制。但由于 Lissajous 轨道不闭合，控制策略更为复杂：

目标轨道的定义：由于轨道不闭合，"目标轨道"不是一条精确的闭合曲线，而是一条随时间演化的参考轨迹
控制频率：通常需要更频繁的控制机动
燃料消耗：Lissajous 轨道的维持消耗通常略高于同等规模的 Halo 轨道

应用价值

Lissajous 轨道在空间任务中有独特应用：

SOHO 卫星：ESA/NASA 的太阳观测卫星 SOHO 运行在日-地 L1 点附近的 Lissajous 轨道上，是 Lissajous 轨道最著名的应用
中继通信：地月 L2 点附近的 Lissajous 轨道可用于月球背面通信中继
轨道选择灵活性：Lissajous 轨道的频率比可自由选择，提供了比 Halo 轨道更多的设计自由度
入轨更容易：某些情况下，进入 Lissajous 轨道的 $\Delta V$ 需求低于进入 Halo 轨道

参考文献

Richardson D L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J]. Celestial Mechanics, 1980, 22(3): 241-253.
Gomez G, Masdemont J, Simo C. Lissajous orbits around halo orbits[J]. Advances in the Astronautical Sciences, 1998.
Qiao C, Long X, Yang L, et al. Orbital parameter characterization and objects cataloging for Earth-Moon collinear libration points[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2025.