降阶动力学方程

本文编辑来源：郭建宇 (2020) "基于双基不变流形法的平动点轨道设计及保持策略研究"

本站地址：https://cislunarspace.cn

定义

降阶动力学方程（Reduced-Order Dynamic Equations）是通过双基不变流形方法得到的、阶数降低的动力学方程。该方程通过选取周期轨道两个主运动方向，将第三个方向的运动表示为前两个方向的非线性函数，从而实现相空间维数的降低。

理论基础

来源

在圆型限制性三体问题（CR3BP）中，平动点附近的周期轨道运动方程可以表示为高维非线性系统。双基不变流形法通过以下步骤实现降阶：

1. 选取两个方向运动作为主运动（通常为 $x$ 和 $y$ 方向）
2. 利用不变流形理论建立第三个方向（$z$ 方向）与主运动的关系
3. 通过 Legendre 多项式展开得到非线性多项式关系
4. 最终得到降阶的动力学方程

数学表达

设主运动方向的振幅为 $\rho_1, \rho_2$，则从属方向振幅 $\rho_3$ 可表示为：

其中 $c_{ij}$ 为多项式系数，由系统动力学特性决定。

与 Linstedt-Poincaré 摄动法的结合

降阶动力学方程可与 Linstedt-Poincaré 摄动法结合使用：

1. 利用 Linstedt-Poincaré 摄动法求解降阶动力学方程
2. 得到 Halo 轨道和 Lissajous 轨道的三阶近似解析解
3. 以解析解为初值，通过轨道数值设计方法修正得到准确的周期轨道

应用价值

降阶动力学方程的主要应用包括：

• 轨道设计：提供良好的初始猜测值，减少数值迭代次数
• 轨道保持：多项式关系可作为约束条件进行实时轨道修正
• 动力学分析：简化高维系统的分析难度，揭示轨道运动的内在规律

核心要素

数学定义

降阶动力学方程是通过双基不变流形方法，选取两个主运动方向，将第三个方向表示为非线性函数而得到的低阶动力学方程。

关键性质

降阶方程保留了周期轨道的主要动力学特性，同时大大降低了计算复杂度。多项式系数反映了系统的内在动力学结构。

数值方法

结合 Legendre 多项式展开和 Lindstedt-Poincaré 摄动法进行求解，得到多阶近似解析解。

相关概念

• 双基不变流形法
• Lindstedt-Poincaré 摄动法
• Halo 轨道
• Lissajous 轨道
• 圆型限制性三体问题（CR3BP）

参考文献

• 郭建宇. 基于双基不变流形法的平动点轨道设计及保持策略研究[D]. 北京工业大学, 2020.
• Farquhar R W, Kamel A A. Quasi-periodic orbits about the collinear libration points[J]. Celestial Mechanics, 1973, 7(3): 267-289.
• Richardson D L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J]. Celestial Mechanics, 1980, 22(3): 241-253.