开普勒方程（Kepler's Equation）

本文作者：天疆说
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定义

开普勒方程是描述椭圆轨道飞行时间与偏近点角关系的超越方程：

M = E - e\sin E

其中 $M = n(t - \tau)$ 为平近点角， $E$ 为偏近点角， $e$ 为偏心率， $n = \sqrt{\mu_E/a^3}$ 为平均角速度， $\tau$ 为过近地点时刻。该方程是求解二体运动方程所需的第六个积分常数的核心工具。

三者关系：当 $f = 0°$ 或 $180°$ 时， $M = E = f$ ；当 $f \in (0°, 180°)$ 时， $M < E < f$ ；当 $f \in (180°, 360°)$ 时， $M > E > f$ 。偏心率越大，差异越大。

已知飞行时间求偏近点角 $E$ （反解开普勒方程）的常用方法：

由开普勒方程可得轨道周期：

T = \frac{2\pi}{n} = 2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu_E}}

即开普勒第三定律：轨道周期仅由半长轴决定。人造地球卫星的最小轨道周期约为 84.3 分钟。

开普勒方程是轨道预报的核心方程。通过它，可以由已知的过近地点时刻和轨道根数计算任意时刻飞行器的偏近点角，进而求得真近点角和位置。在基于轨道根数的预报法中，开普勒方程的求解是关键步骤。对于抛物线和双曲线轨道，也有类似的时间方程（巴克方程和双曲线时间方程）。