庞特里亚金极值原理（Pontryagin's Maximum Principle）

本文作者：天疆说
参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室
参考文献：关宇同等. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.

定义

庞特里亚金极值原理（Pontryagin's Maximum Principle）是由苏联数学家庞特里亚金等于 1958 年提出的最优控制理论的核心定理。它给出了连续最优控制问题解的一阶必要条件，是间接法求解最优控制问题的理论基础。

核心公式

Hamilton 函数

构造 Hamilton 函数：

H = \lambda_v^T f(x, u, t) + \lambda_x^T x + \lambda_m \dot{m}

其中 $\lambda = [\lambda_v; \lambda_x; \lambda_m]$ 为协态变量。

协态方程

协态变量满足：

\dot{\lambda} = -\frac{\partial H}{\partial x}

极值条件

对于燃料最优控制，最优推力比满足：

u_j^* = \begin{cases} 0, & \rho_j > 0 \\ 1, & \rho_j < 0 \\ \in (0,1), & \rho_j = 0 \end{cases}

其中 $\rho_j = \frac{\partial H}{\partial u_j}$ 为开关函数。

在轨道优化中的应用

赵海涵等（2026）的应用

在航天器协同交会燃料最优问题中：

构造性能指标：

J = \sum_{j=1}^{2} \frac{F_j}{I_{sp}g_0} \int_{t_0}^{t_f} u_j dt

建立协态方程：根据 Hamilton 函数求偏导得到协态微分方程
确定最优控制：根据极值条件确定推力方向和推力比
打靶求解：将两点边值问题转化为打靶问题求解

协态变量的物理意义

协态变量具有深刻的物理意义：

位置协态 $\lambda_r$ ：与位置梯度相关，影响轨道形状
速度协态 $\lambda_v$ ：与速度梯度相关，决定推力方向
质量协态 $\lambda_m$ ：与质量梯度相关，决定燃料消耗

与 Bang-bang 控制的关系

庞特里亚金极值原理直接导出了燃料最优控制的 Bang-bang 特性：

开关函数 $\rho_j > 0$ 时，推力为零（滑行）
开关函数 $\rho_j < 0$ 时，推力最大
切换发生在 $\rho_j = 0$ 时

相关概念

参考文献

Pontryagin L S, et al. The Mathematical Theory of Optimal Processes[M]. Wiley, 1962.
Bryson A E, Ho Y C. Applied Optimal Control[M]. Hemisphere, 1975.
关宇同, 高长生, 胡玉东, 赵海涵. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.