牛顿迭代法（Newton's Iteration Method）

本文作者：天疆说
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定义

牛顿迭代法（也称牛顿-拉夫逊法）是求解非线性方程 $f(x) = 0$ 的根的经典数值方法。其基本思想是将非线性方程在当前迭代点附近进行 Taylor 展开，取线性部分近似代替原方程，逐步逼近真实解。

设 $f(x)$ 在包含 $x_k$ 的区间上连续可微，则 Taylor 展开的线性近似给出迭代公式：

x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

牛顿迭代法的几何意义是：过点 $(x_k, f(x_k))$ 作 $f(x)$ 的切线，切线与 $x$ 轴的交点即为下一个迭代点 $x_{k+1}$ 。因此也称为切线法。

轨迹设计问题可归结为求解非线性方程 $F(x) = 0$ 的根。对于弹道导弹，设计变量为发射方位角 $A_0$ 和俯仰程序角斜率 $\dot{\varphi}_{pr}$ ，终端约束为落点偏差为零：

\begin{bmatrix} \dot{\varphi}_{pr}^{(k+1)} \\ A_0^{(k+1)} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \dot{\varphi}_{pr}^{(k)} \\ A_0^{(k)} \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \frac{\partial \Delta L}{\partial \dot{\varphi}_{pr}} & \frac{\partial \Delta L}{\partial A_0} \\ \frac{\partial \Delta H}{\partial \dot{\varphi}_{pr}} & \frac{\partial \Delta H}{\partial A_0} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -\Delta L^{(k)} \\ -\Delta H^{(k)} \end{bmatrix}

偏导数的计算精度对收敛性有显著影响。常用方法：

方法	特点	计算量
求差法	实现简单，对增量选取敏感	少（每参数 1 次额外弹道计算）
理查德外推法	精度高，对增量不敏感	多（每参数 4 次额外弹道计算）

求差法的偏导数计算：

\frac{\partial f}{\partial x_i} \approx \frac{f(x_i + \delta x_i) - f(x_i)}{\delta x_i}

牛顿迭代法是弹道导弹和运载火箭主动段轨迹设计的核心数值方法。通过将轨迹设计问题转化为非线性方程求解问题，可以快速确定满足终端约束的飞行程序角和发射方位角。该方法实现简单、收敛速度快，在工程中广泛应用。