命中方程（Hit Equation）

本文作者：天疆说
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定义

命中方程是描述弹道导弹被动段角射程 $\beta_{kc}$ 与主动段终点参数之间关系的核心方程：

\frac{r_k}{R_E} = \frac{1 - \cos\beta_{kc}}{\gamma_k \cos^2\Theta_k} + \frac{\cos(\beta_{kc} + \Theta_k)}{\cos\Theta_k}

其中 $r_k$ 为主动段终点地心距， $R_E$ 为地球半径， $\gamma_k$ 为能量参数， $\Theta_k$ 为当地速度倾角。该方程将导弹的射程与关机点参数直接关联，是弹道设计和命中精度分析的基础。

命中方程可通过半角公式转化为关于 $\tan(\beta_{kc}/2)$ 的一元二次方程：

A\tan^2\frac{\beta_{kc}}{2} - B\tan\frac{\beta_{kc}}{2} + C = 0

其中系数为：

由于 $A \geq 0$ ， $C \leq 0$ ，方程有唯一有效解：

\tan\frac{\beta_{kc}}{2} = \frac{B + \sqrt{B^2 - 4AC}}{2A}

射程类型	定义	地心距替换
被动段射程 $L_{kc}$	主动段终点弹下点 K' 到落点 C 的大圆弧	落点 $r_c = R_E$
自由段射程 $L_{ke}$	主动段终点弹下点 K' 到再入点弹下点 E' 的大圆弧	再入点 $r_e = r_k$

自由段角射程的简洁公式：

\sin\frac{\beta_{ke}}{2} = \frac{\gamma_k}{2e}\sin 2\Theta_k

角射程 $\beta$ 与绝对射程 $L$ 的关系为 $L = R_E \beta$ 。当能量参数 $\gamma_k$ 和关机点高度 $h_k$ 给定时，角射程总存在最大值，对应速度倾角即为最佳速度倾角。

命中方程是弹道导弹设计的核心工具。通过它，可以由关机点参数直接计算导弹射程，也可以反推达到指定射程所需的关机点参数。在制导系统设计中，命中方程用于建立射程偏差与关机点参数偏差之间的关系，是误差系数建模的起点。