活力公式（Vis-Viva Equation）

本文作者：天疆说
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定义

活力公式（Vis-Viva Equation）是二体运动中机械能守恒定律的表达式，建立了飞行器速度大小 $v$ 、地心距 $r$ 与轨道半长轴 $a$ 之间的关系：

v^2 = \mu_E\left(\frac{2}{r} - \frac{1}{a}\right)

该公式表明，给定轨道半长轴后，飞行器在任意地心距处的速度大小可直接计算，且地心距越大、速度越小。

由活力公式可得比机械能 $\varepsilon$ 仅由半长轴决定：

\varepsilon = \frac{1}{2}v^2 - \frac{\mu_E}{r} = -\frac{\mu_E}{2a}

速度矢量与当地水平面的夹角为当地速度倾角 $\Theta$ ：

\tan\Theta = \frac{e\sin f}{1 + e\cos f}

在近地点和远地点处 $\Theta = 0°$ （速度沿水平方向），在椭圆轨道短轴端点处 $|\Theta|$ 取极大值 $\sin^{-1}e$ 。

活力公式是轨道力学中最常用的公式之一。它将速度大小与轨道位置直接关联，无需通过时间积分即可计算速度。在轨道设计中，活力公式用于确定变轨所需速度增量；在轨道确定中，用于由观测数据反推轨道参数；在发射窗口计算中，用于确定入轨速度要求。