哈密顿函数（Hamiltonian）

本文作者：天疆说
参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室

定义

哈密顿函数（Hamiltonian）是分析力学和最优控制理论中的核心标量函数，由广义坐标和广义动量（或状态变量与协态变量）构成。在轨道力学中，哈密顿函数既是描述系统能量守恒的物理量，也是建立最优控制必要条件的数学工具。庞特里亚金极值原理正是以哈密顿函数为核心框架，导出最优控制律。

在哈密顿力学体系中，哈密顿函数定义为：

H(\mathbf{q}, \mathbf{p}, t) = \mathbf{p}^T \dot{\mathbf{q}} - L(\mathbf{q}, \dot{\mathbf{q}}, t)

其中 $\mathbf{q}$ 为广义坐标， $\mathbf{p} = \partial L / \partial \dot{\mathbf{q}}$ 为广义动量， $L$ 为拉格朗日函数。正则方程为：

\dot{\mathbf{q}} = \frac{\partial H}{\partial \mathbf{p}}, \quad \dot{\mathbf{p}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{q}}

当 $H$ 不显含时间 $t$ 时， $H$ 为守恒量，对应系统总能量。

在圆形限制性三体问题（CR3BP）的旋转坐标系下，哈密顿函数为：

H = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2 + p_z^2) + y p_x - x p_y - \frac{1-\mu}{r_1} - \frac{\mu}{r_2}

其中 $p_x, p_y, p_z$ 为正则动量， $r_1, r_2$ 为航天器到两个主天体的距离。Jacobi 常数 $C = -2H$ ，是 CR3BP 中唯一的守恒量。

在最优控制问题中，哈密顿函数由状态方程、协态变量和性能指标构造：

H(\mathbf{x}, \boldsymbol{\lambda}, \mathbf{u}, t) = L(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t) + \boldsymbol{\lambda}^T \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t)

其中 $L$ 为瞬时代价函数， $\mathbf{f}$ 为状态方程右端， $\boldsymbol{\lambda}$ 为协态变量。最优控制 $\mathbf{u}^*$ 使 $H$ 取极值：

\frac{\partial H}{\partial \mathbf{u}} = 0 \quad \text{（对连续控制）}

哈密顿函数在地月空间任务中具有广泛的应用：