高斯型摄动方程（Gaussian Perturbation Equations）

本文作者：天疆说
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定义

高斯型摄动方程是以轨道根数为变量的受摄运动方程，将每个轨道根数的变化率表示为6个轨道根数和摄动加速度3个正交分量的函数。该方程由高斯在研究小行星智神星在木星引力作用下的摄动运动时首先建立。适用于任何保守的或非保守的摄动力，包括推力加速度。

摄动加速度分解为径向分量 $f_r$ 、周向分量 $f_u$ 和轨道面法向分量 $f_h$ ：

\left\{\begin{array}{l} \dot{a} = \frac{2}{n\sqrt{1-e^2}}[e\sin f \cdot f_r + (1+e\cos f)f_u] \\ \dot{e} = \frac{\sqrt{1-e^2}}{na}[\sin f \cdot f_r + (\cos f + \cos E)f_u] \\ \dot{i} = \frac{r\cos u}{na^2\sqrt{1-e^2}}f_h \\ \dot{\Omega} = \frac{r\sin u}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}f_h \\ \dot{\omega} = \frac{\sqrt{1-e^2}}{nae}[-\cos f \cdot f_r + (1+\frac{r}{p})\sin f \cdot f_u] - \cos i \cdot \dot{\Omega} \\ \dot{M} = n - \frac{1-e^2}{nae}[(2e\frac{r}{p}-\cos f)f_r + (1+\frac{r}{p})\sin f \cdot f_u] \end{array}\right.

摄动加速度分解为切向分量 $f_t$ 、主法向分量 $f_n$ 和副法向分量 $f_h$ ，适用于大气阻力分析：

对于近圆轨道， $\omega$ 和 $M$ 的变化率通常很大；对于近赤道轨道， $\Omega$ 和 $\omega$ 的变化率通常很大。原因是变分参数选择不当导致分母包含偏心率和轨道倾角的正弦。

高斯型摄动方程是分析任意摄动力对轨道影响的基本工具。由于其直接以摄动加速度分量为输入，适用于非保守力（如大气阻力、推力）的分析。在轨道捕获和轨道保持过程中，发动机推力加速度可用高斯型方程近似描述，并通过合理设计轨道控制方案消除轨道根数偏差。