燃料最优控制（Fuel-optimal Control）

本文作者：天疆说
参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室

定义

燃料最优控制（Fuel-optimal Control）是一类以最小化总推进剂消耗为性能指标的最优控制问题。在深空探测任务中，航天器携带的推进剂有限，燃料消耗量直接决定任务寿命和可达范围。因此，燃料最优控制是轨道设计中最重要的优化目标之一。根据庞特里亚金极值原理，燃料最优控制律具有 Bang-bang 特性。

数学描述

性能指标

燃料最优控制的性能指标定义为：

J = \frac{F}{I_{sp}g_0} \int_{t_0}^{t_f} u \, dt

其中 $F$ 为最大推力， $I_{sp}$ 为比冲， $g_0$ 为标准重力加速度， $u \in [0, 1]$ 为推力比。

最优控制律

由庞特里亚金极值原理导出的最优推力比满足：

u^* = \begin{cases} 0, & \rho > 0 \\ 1, & \rho < 0 \\ \in (0,1), & \rho = 0 \end{cases}

其中 $\rho$ 为开关函数：

\rho = 1 - \lambda_m - \frac{I_{sp}g_0}{m}\|\boldsymbol{\lambda}_v\|

$\boldsymbol{\lambda}_v$ 为速度协态变量， $\lambda_m$ 为质量协态变量。

时间最优与燃料最优的区别

特征	时间最优	燃料最优
性能指标	$J = t_f - t_0$ （最短时间）	$J = \int u \, dt$ （最少燃料）
推力特性	始终最大推力	Bang-bang（开/关切换）
切换函数	线性函数	含协态范数的非线性函数

数值求解的挑战

燃料最优控制的数值求解面临特殊困难：

不连续性：Bang-bang 控制律在切换点处不连续，微分方程右端函数存在间断
奇异弧：当开关函数在有限时间内恒为零时，出现奇异弧（singular arc），推力比无法由极值条件唯一确定
同伦法平滑：通过引入正则化参数 $\varepsilon$ ，将 Bang-bang 控制平滑为连续控制，逐步令 $\varepsilon \to 0$ 收敛至燃料最优解

在地月空间中的应用

燃料最优控制在地月空间任务中有广泛应用：

低能转移轨道：从近地轨道到 DRO 或 NRHO 的转移，通过燃料最优设计最大限度利用三体动力学结构
多航天器协同交会：编队航天器的协同交会问题中，总燃料消耗的最小化是关键优化目标
月球门户轨道维持：NRHO 等任务轨道的长期保持需要周期性的轨道修正，燃料最优策略直接影响任务寿命