本文作者：天疆说
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运动方程 （equation of motion, EOM）是描述航天器位置在指定力学模型下随时间演化的微分方程组。在圆型限制性三体问题中，运动方程写在会合（旋转）坐标系下，是三个二阶常微分方程，右端项由两个主天体的引力与旋转系带来的科氏、离心项共同构成。把任何二阶方程组改写为一阶系统，就得到状态方程 ，这是现代控制理论处理动力学问题的标准形式。
会合系原点取在两主天体质心，x 轴沿两主天体连线（两主天体在此系下变为固定点），地月系角速度为 ω S \boldsymbol{\omega}_S ω S [368] [382] ：
r ¨ S + 2 ω S × r ˙ S + ω S × ( ω S × r S ) = − ∑ i = 1 , 2 G m i r S − r i ∥ r S − r i ∥ 3 . \ddot{\mathbf r}_S + 2\,\boldsymbol{\omega}_S \times \dot{\mathbf r}_S + \boldsymbol{\omega}_S \times (\boldsymbol{\omega}_S \times \mathbf r_S) = -\sum_{i=1,2} G m_i \frac{\mathbf r_S - \mathbf r_i}{\|\mathbf r_S - \mathbf r_i\|^3}. r ¨ S + 2 ω S × r ˙ S + ω S × ( ω S × r S ) = − i = 1 , 2 ∑ G m i ∥ r S − r i ∥ 3 r S − r i .
第二项是科氏加速度，第三项是离心加速度。无量纲化（参见 无量纲化 ）并引入有效势
Ω ( x , y , z ) = 1 2 ( x 2 + y 2 ) + 1 − μ r 1 + μ r 2 , \Omega(x,y,z) = \tfrac{1}{2}(x^2 + y^2) + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}, Ω ( x , y , z ) = 2 1 ( x 2 + y 2 ) + r 1 1 − μ + r 2 μ ,
运动方程写作紧凑的标准形式
x ¨ − 2 y ˙ = Ω x , y ¨ + 2 x ˙ = Ω y , z ¨ = Ω z . \ddot{x} - 2\dot{y} = \Omega_x, \qquad \ddot{y} + 2\dot{x} = \Omega_y, \qquad \ddot{z} = \Omega_z. x ¨ − 2 y ˙ = Ω x , y ¨ + 2 x ˙ = Ω y , z ¨ = Ω z .
由于时间 t t t 自治的 ，并存在雅可比积分 C = 2 Ω − ( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 ) C = 2\Omega - (\dot x^2 + \dot y^2 + \dot z^2) C = 2Ω − ( x ˙ 2 + y ˙ 2 + z ˙ 2 ) [368] 。
取状态向量 x = ( x , y , z , x ˙ , y ˙ , z ˙ ) ⊤ \mathbf x = (x, y, z, \dot x, \dot y, \dot z)^\top x = ( x , y , z , x ˙ , y ˙ , z ˙ ) ⊤
x ˙ = f ( x ) , \dot{\mathbf x} = \mathbf f(\mathbf x), x ˙ = f ( x ) ,
加入控制后线性化为
x ˙ = A ( t ) x + B ( t ) u , y = C ( t ) x . \dot{\mathbf x} = \mathbf A(t)\,\mathbf x + \mathbf B(t)\,\mathbf u, \qquad \mathbf y = \mathbf C(t)\,\mathbf x. x ˙ = A ( t ) x + B ( t ) u , y = C ( t ) x .
这就是状态方程 （状态空间形式）。把动力学写成这一形式是应用最优控制、状态反馈、状态观测等方法的前提。在 CR3BP 中，当参考是周期轨道时，A ( t ) \mathbf A(t) A ( t ) 线性周期系统 结构[103] 。
状态方程不显含 t t t 自治 （时不变）的；显含 t t t 非自治 （时变）的。CR3BP 因两主天体在会合系下固定，状态方程是自治的。双圆模型、椭圆限制性三体问题、完整历表（n 体）模型则因第三体的真实运动或行星的真实位置而引入显式时间依赖，是非自治的，丢失雅可比积分，必须改用准周期或纯数值方法[159] 。
自治系统具有时间平移不变性：t 0 t_0 t 0 t 0 + Δ t t_0 + \Delta t t 0 + Δ t
Fossà 等, 2022, Two and three impulses phasing strategy with a spacecraft orbiting on an Earth–Moon NRHO. 