雅可比积分

本文作者：天疆说
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定义

雅可比积分（Jacobi Integral）是圆型限制性三体问题（CR3BP）中迄今发现的唯一积分常数，又称雅可比常数（Jacobi Constant）。它是三体问题中能量守恒的体现，其表达式为：

C = 2\Omega - v^2

其中 $\Omega$ 为有效势能， $v$ 为航天器速度。 $C$ 值越大表示能量越小。

$-C$ 等于初始动能与初始势能之和的两倍。在不考虑摄动以及轨道控制的情况下，雅可比积分保持恒定，且是势能和动能不断转化的过程。

需要注意的是，由于在圆型限制性三体问题中使用的是质心旋转坐标系，此处的势能并非传统意义上的势能，称为伪势能（Pseudo-Potential）。

雅可比积分定义了零速度面（Zero-Velocity Surface），即 $v=0$ 时 $\Omega = C/2$ 的等值面。零速度面将空间分为可达区域和不可达区域，是分析航天器运动范围的重要工具。

雅可比积分 $C = 2\Omega - v^2$ 是 CR3BP 中唯一守恒量，其中有效势能 $\Omega = \frac{x^2 + y^2}{2} + \frac{1-\mu}{r_1} + \frac{\mu}{r_2}$ ， $v$ 为航天器速度。

$-C$ 等于初始动能与初始势能之和的两倍。 $C$ 值越大表示能量越小。零速度面 $2\Omega(x,y,z) = C$ 将空间分为可达和不可达区域。

Jacobi 常数在数值积分中作为守恒量可用于检验积分精度。在轨道族延拓中， $C$ 常作为延拓参数使用。

雅可比积分能够作为研究限制性三体问题的重要工具，对探寻质点运动规律和力学特性有着重要的作用。在轨道设计中，雅可比常数常作为轨道族延拓的参数。

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