序列二次规划（Sequential Quadratic Programming）

本文作者：天疆说
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定义

序列二次规划（SQP）算法是求解非线性规划（NLP）问题最有效的方法之一，具有整体收敛性与局部超线性收敛特性。其基本思想是将原 NLP 问题转化为一系列二次规划（QP）子问题进行求解。

核心要素

问题形式

一般的 NLP 问题可表示为：

\min \quad J = F(y)

\text{s.t.} \quad h_i(y) = 0, \quad i = 1, 2, \ldots, r

g_j(y) \leq 0, \quad j = r+1, r+2, \ldots, s

其中 $y$ 包含状态变量和控制变量。

Lagrangian 函数

NLP 问题的 Lagrangian 函数为：

L(y, \lambda) = F(y) + \sum_{i=1}^{r} \lambda_i h_i(y) + \sum_{j=r+1}^{s} \lambda_j g_j(y)

QP 子问题

在每次迭代中，用一阶 Taylor 级数近似约束条件，二阶 Taylor 级数近似目标函数，将 NLP 问题转化为 QP 子问题：

\min_{d_k} \nabla F(y_k)^{\mathrm{T}} d_k + \frac{1}{2} d_k^{\mathrm{T}} H_k d_k

其中 $H_k$ 为 Lagrangian 函数 Hessian 矩阵的近似正定形式，采用改进 BFGS 公式更新：

H_{k+1} = H_k + \frac{s_k s_k^{\mathrm{T}}}{s_k^{\mathrm{T}} \delta_k} - \frac{(H_k \delta_k)(H_k \delta_k)^{\mathrm{T}}}{(H_k \delta_k)^{\mathrm{T}} \delta_k}

迭代步骤

给定初始点 $y_0$ 、初始矩阵 $H_0$ 和控制误差 $\varepsilon$
求解 QP 子问题，确定搜索方向 $d_k$ 及拉格朗日乘子 $\lambda_k$
由精确一维搜索确定步长因子 $\alpha_k$ ，计算新迭代点 $y_{k+1} = y_k + \alpha_k d_k$
若 $\|y_{k+1} - y_k\| \leq \varepsilon$ ，停止；否则更新 $H_k$ ，返回步骤 2

与其他优化方法的对比

方法	特点	适用场景
SQP	基于梯度，收敛快，局部最优	连续可微的 NLP 问题
遗传算法	全局搜索，不依赖梯度	离散或非光滑问题
模拟退火	全局搜索，避免局部最优	复杂多峰问题

应用价值

SQP 算法是轨迹优化的核心方法之一。在运载火箭和弹道导弹的轨迹优化中，SQP 算法用于求解以运载能力或落点精度为目标函数、以入轨条件和过程约束为约束条件的非线性规划问题。其快速收敛特性使其在工程设计中得到广泛应用。

相关概念

参考文献

郑伟, 安雪滢, 周祥, 何睿智. 空天飞行力学[M]. 国防科技大学, 2026.
贾沛然, 陈克俊, 等. 远程火箭弹道学[M]. 国防科技大学出版社.