阿伦偏差（Allan Deviation, ADEV）

本文作者：天疆说

本文参考：Li Y et al. 2026 Chin. Phys. Lett. 43 031101

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定义

阿伦偏差（Allan Deviation, ADEV）是评估频率源稳定性的一种统计量，由David W. Allan于1966年提出。与传统的标准差不同，ADEV能够区分不同类型的噪声过程（如白噪声、闪烁噪声、随机游走噪声等），避免在噪声非平稳时出现发散问题。

ADEV是时间频率领域评估原子钟和振荡器性能的核心指标。

数学定义

对于采样间隔 τ\tau 的相邻频率测量值 yˉi\bar{y}_i，ADEV定义为：

σy2(τ)=12(N−1)∑i=1N−1(yˉi+1−yˉi)2\sigma_y^2(\tau) = \frac{1}{2(N-1)} \sum_{i=1}^{N-1} (\bar{y}_{i+1} - \bar{y}_i)^2

其中 NN 是样本数量，yˉi\bar{y}_i 是在第 ii 个平均时间 τ\tau 内的平均相对频率偏移。

对应的阿伦偏差为：

ADEV=σy(τ)=σy2(τ)\text{ADEV} = \sigma_y(\tau) = \sqrt{\sigma_y^2(\tau)}

与标准差的区别

传统标准差（StdDev）在评估频率稳定性时存在局限性：当噪声类型为闪烁频率噪声时，标准差随样本数增加而发散，即使用无穷多样本也无法收敛。

ADEV的优势在于：

  • 对多种噪声类型都能收敛
  • 能够识别噪声的幂律谱类型
  • 与物理过程有明确对应关系
噪声类型标准差行为ADEV行为
白相位噪声发散收敛 ∝τ−1\propto \tau^{-1}
闪烁相位噪声发散收敛 ∝τ0\propto \tau^{0}
白频率噪声收敛收敛 ∝τ−1/2\propto \tau^{-1/2}
闪烁频率噪声发散收敛 ∝τ0\propto \tau^{0}
随机游走频率噪声收敛收敛 ∝τ1/2\propto \tau^{1/2}

改进阿伦偏差（MDEV）

在DRO-A引力红移实验中使用的是改进阿伦偏差（Modified Allan Deviation, MDEV）：

MDEV=12(N−2τ0)∑i=1N−2(1τ2∫τ0τ0+τ∫τ0τ0+τx˙(t2)−x˙(t1) dt1 dt2)2\text{MDEV} = \sqrt{\frac{1}{2(N-2\tau_0)} \sum_{i=1}^{N-2} \left( \frac{1}{\tau^2} \int_{\tau_0}^{\tau_0+\tau} \int_{\tau_0}^{\tau_0+\tau} \dot{x}(t_2) - \dot{x}(t_1) \, dt_1 \, dt_2 \right)^2}

MDEV相对于ADEV的优势在于：

  • 在相同噪声类型下具有更好的置信度
  • 能够区分白频率噪声和闪烁频率噪声

典型性能指标

不同类型原子钟的ADEV典型值：

振荡器类型τ=1\tau = 1 sτ=1000\tau = 1000 sτ=10000\tau = 10000 s
被动氢原子钟（PHM）10−1210^{-12}10−1410^{-14}10−1410^{-14}
铯原子钟10−1110^{-11}10−1310^{-13}10−1310^{-13}
铷原子钟10−1110^{-11}10−1210^{-12}10−1210^{-12}
锶光晶格钟10−1610^{-16}10−1810^{-18}10−1810^{-18}

在DRO-A实验中的应用

DRO-A卫星引力红移实验中测量了星-地时间频率比对的稳定性：

平均时间4月28日 MDEV4月29日 MDEV
10 s6.14×10−136.14 \times 10^{-13}7.01×10−137.01 \times 10^{-13}
100 s8.03×10−138.03 \times 10^{-13}8.03×10−138.03 \times 10^{-13}
1000 s4.58×10−144.58 \times 10^{-14}6.98×10−146.98 \times 10^{-14}
2000 s1.27×10−141.27 \times 10^{-14}2.10×10−142.10 \times 10^{-14}

实验表明：

  • 1000秒平均时间的稳定性超过 7×10−147 \times 10^{-14}
  • 2000秒平均时间的稳定性超过 2×10−142 \times 10^{-14}
  • 稳定性比准确度好两个数量级，因此稳定性是限制引力红移测量的主要因素

相关概念

参考文献

  • Allan D W 1966 Proc. IEEE 54 221
  • Li Y, Liu T et al. 2026 Chin. Phys. Lett. 43 031101
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