本文作者：天疆说
参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室
协态变量（Co-state Variables），又称伴随变量或拉格朗日乘子，是最优控制理论中与状态变量配对引入的辅助变量。它们不对应任何可直接测量的物理量，而是描述了最优性能指标对状态变量的灵敏度。在庞特里亚金极值原理框架下，协态变量通过与状态变量共同构成 Hamilton 正则方程组，决定了最优轨迹和最优控制律。
设状态变量为 x = [ r ; v ; m ] T \mathbf{x} = [\mathbf{r}; \mathbf{v}; m]^T x = [ r ; v ; m ] T λ = [ λ r ; λ v ; λ m ] T \boldsymbol{\lambda} = [\boldsymbol{\lambda}_r; \boldsymbol{\lambda}_v; \lambda_m]^T λ = [ λ r ; λ v ; λ m ] T H H H
λ ˙ = − ∂ H ∂ x \dot{\boldsymbol{\lambda}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{x}} λ ˙ = − ∂ x ∂ H
与状态方程 x ˙ = ∂ H / ∂ λ \dot{\mathbf{x}} = \partial H / \partial \boldsymbol{\lambda} x ˙ = ∂ H / ∂ λ
在航天器轨道优化问题中，各协态分量具有明确的数学角色：
位置协态 λ r \boldsymbol{\lambda}_r λ r ：满足 λ ˙ r = − ∂ H / ∂ r \dot{\boldsymbol{\lambda}}_r = -\partial H / \partial \mathbf{r} λ ˙ r = − ∂ H / ∂ r 速度协态 λ v \boldsymbol{\lambda}_v λ v ：满足 λ ˙ v = − ∂ H / ∂ v \dot{\boldsymbol{\lambda}}_v = -\partial H / \partial \mathbf{v} λ ˙ v = − ∂ H / ∂ v 质量协态 λ m \lambda_m λ m ：满足 λ ˙ m = − ∂ H / ∂ m \dot{\lambda}_m = -\partial H / \partial m λ ˙ m = − ∂ H / ∂ m 协态变量通过开关函数 ρ \rho ρ
ρ j = 1 − λ m j − I s p g 0 m j ∥ λ v j ∥ \rho_j = 1 - \lambda_{mj} - \frac{I_{sp}g_0}{m_j}\|\boldsymbol{\lambda}_{vj}\| ρ j = 1 − λ mj − m j I s p g 0 ∥ λ v j ∥
当 ρ j < 0 \rho_j < 0 ρ j < 0 ρ j > 0 \rho_j > 0 ρ j > 0
在间接法求解最优控制问题时，初始状态 x ( t 0 ) \mathbf{x}(t_0) x ( t 0 ) λ ( t 0 ) \boldsymbol{\lambda}(t_0) λ ( t 0 ) [ − ∞ , + ∞ ] [-\infty, +\infty] [ − ∞ , + ∞ ] λ ( t 0 ) \boldsymbol{\lambda}(t_0) λ ( t 0 )
在地月空间轨道优化中，协态变量贯穿整个最优控制求解过程。从近地轨道到 DRO 或 NRHO 的燃料最优转移、多航天器协同交会等任务中，协态变量的初值猜测与迭代修正始终是间接法的核心难点。协态变量的归一化处理和物理意义解读，是连接数学最优性与工程可实现性的重要桥梁。
