平动点

本文作者：天疆说
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定义

平动点（Libration Point），又称拉格朗日点（Lagrange Point），是圆型限制性三体问题（CR3BP）中的五个特解对应的位置。在质心旋转坐标系中，平动点处的速度和加速度均为零，即航天器在该点所受引力与离心力达到平衡。在惯性坐标系中，平动点绕质心的角速度与两天体绕质心的角速度相等。

五个平动点

五个平动点按能级从低到高排列为 L₁、L₂、L₃、L₄、L₅：

平动点	类型	位置特征
L₁	共线平动点	位于两主天体连线上，介于两天体之间
L₂	共线平动点	位于两主天体连线上，在较小天体外侧
L₃	共线平动点	位于两主天体连线上，在较大天体外侧
L₄	三角平动点	与两主天体构成等边三角形，位于轨道前方
L₅	三角平动点	与两主天体构成等边三角形，位于轨道后方

在地月系统中，L₁ 和 L₂ 点距离月球较近，是地月空间任务中最常用的平动点。L₂ 点附近的近直线晕轨道（NRHO）已被选为月球门户（Gateway）的任务轨道。

共线平动点的计算

共线平动点的位置可通过欧拉方程数值求解。记 $\gamma_j (j=1,2,3)$ 为共线平动点到其最近天体的距离，则 $\gamma_j$ 满足五次多项式方程，可通过 Newton 迭代法求解。

三角平动点与两主天体构成等边三角形，其位置坐标为：

x = \frac{1}{2} - \mu, \quad y = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

其中正号对应 L₄，负号对应 L₅。

核心要素

数学定义

平动点是 CR3BP 中速度和加速度均为零的五个特解位置。共线平动点 $L_1, L_2, L_3$ 的位置通过欧拉五次方程的 Newton 迭代求解，三角平动点 $L_4, L_5$ 与两主天体构成等边三角形。

关键性质

共线平动点具有鞍×中心×中心的不稳定动力学结构，三角平动点在质量比满足一定条件时线性稳定。在地月系统中， $L_1$ 和 $L_2$ 点距离月球较近，是任务中最常用的平动点。

数值方法

共线平动点到最近天体的距离 $\gamma_j$ 满足五次多项式方程，通过 Newton 迭代法数值求解。

应用价值

平动点附近的轨道（如 Halo 轨道、Lissajous 轨道、Lyapunov 轨道）在地月空间任务中具有重要应用价值，包括深空探测中转站、引力天文台、太阳观测站和空间态势感知等。

参考文献

Szebehely V. Theory of orbits: the restricted problem of three bodies[M]. Academic Press, 1968.
陈昱桔. 面向地月空间态势感知的DRO轨道设计与控制研究[D]. 2024.
Klonowski M. Cislunar Space Situational Awareness Architecture Design and Analysis[D]. University of Colorado Boulder, 2025.