Q-law控制律

本文编辑来源：胡敏, 肖金伟, 张天天, 陶雪峰 (2026) "面向中高轨小卫星批量部署的轨道转移飞行器任务规划"
Narayanaswamy S, Damaren C J. Equinoctial Lyapunov control law for low-thrust rendezvous[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2023, 46(4): 781-795.
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定义

Q-law是一种基于李雅普诺夫（Lyapunov）理论的反馈控制律，用于低推力航天器的轨道转移控制。其核心思想是通过构造描述状态误差的标量Q函数，并确保其单调递减，从而引导航天器自主收敛到目标轨道。

理论基础

李雅普诺夫稳定性

Q-law基于李雅普诺夫稳定性理论：

构造正定的李雅普诺夫函数 $Q(Z) \geq 0$
设计控制律使 $\dot{Q} < 0$ （Q函数单调递减）
当 $Q \to 0$ 时，系统收敛到目标状态

Q函数定义

在轨道转移中，Q函数定义为轨道根数误差的加权二次型：

Q(Z) = (1 + W_P P) \sum_{i=1}^{5} W_i S_i \left(\frac{\delta Z_i}{\max_L(\dot{X}_i)}\right)^2

其中：

$W_i$ ：各轨道元素的权重
$P$ ：罚函数项
$S_i$ ：塑形函数
$\delta Z_i$ ：轨道根数误差
$\max_L(\dot{X}_i)$ ：最大变化率（归一化因子）

控制律设计

最优推力方向

控制律的目标是寻找使Q函数下降最快的推力方向。通过求 $\dot{Q}$ 的极值，可解析获得最优推力方向：

\alpha^* = \arctan(-D_2, -D_1)

\beta^* = \arctan(-D_3, \sqrt{D_1^2 + D_2^2})

其中 $\alpha, \beta$ 为推力方向矢量分量， $D_1, D_2, D_3$ 为与Q函数梯度相关的计算系数。

滑行弧机制

为实现工质与时间的权衡，引入滑行弧机制：

u = \begin{cases} [0, 0], & \eta_r \leq \eta_{rel} \text{ 或 } \eta_a \leq \eta_{abs} \\ T_{max}[\alpha^*, \beta^*], & \text{其他} \end{cases}

当推力效率低于阈值时关闭发动机，进入滑行阶段，以时间换取工质节约。

与改进春分点轨道根数结合

改进春分点轨道根数（MEE）

胡敏等（2026）采用基于改进春分点轨道根数（Modified Equinoctial Elements, MEE）的Q-law：

\begin{cases} p = a(1 - e^2) \\ e_1 = e\cos(\omega + \Omega) \\ e_2 = e\sin(\omega + \Omega) \\ h_1 = \tan(i/2)\cos\Omega \\ h_2 = \tan(i/2)\sin\Omega \\ L = \omega + \Omega + \theta \end{cases}

优势

相比经典轨道根数，MEE具有：

数值稳定性：近圆轨道附近无奇异性
控制性能更好：半长轴a代替半通径p更适合控制
物理意义明确：各分量有清晰的几何解释

在批量部署中的应用

状态依赖成本矩阵生成

胡敏等（2026）采用Q-law控制律离线生成状态依赖转移成本矩阵：

对所有离散质量状态 $k = 0, 1, \dots, N$
对所有起点-终点组合 $(i, j)$
通过Q-law仿真计算转移成本 $C(i, j, k)$
构建完整的三维成本矩阵

计算效率

Q-law虽为次优解，但具有显著优势：

计算成本极低：相比直接法优化，效率提升数个量级
鲁棒性强：固有的误差修正能力
实时性好：闭环策略可实时补偿未建模摄动

性能分析

研究结果表明（胡敏等, 2026）：

优化目标	工质消耗	转移时间	CPU时间
最小化时间	96.49 kg	32.87 d	0.00025 s
最小化工质	76.07 kg	37.55 d	0.00026 s
工质-时间权衡	85.12 kg	35.87 d	0.00025 s

通过调节效率参数 $\eta_{rel}$ 和 $\eta_{abs}$ ，可在工质和时间之间灵活切换。

参考文献

胡敏, 肖金伟, 张天天, 陶雪峰. 面向中高轨小卫星批量部署的轨道转移飞行器任务规划[J]. 航天器工程, 2026, 25(3): 634-646.
Narayanaswamy S, Damaren C J. Equinoctial Lyapunov control law for low-thrust rendezvous[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 2023, 46(4): 781-795.
Lee D, Ahn J. Optimal multitarget rendezvous using hybrid propulsion system[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 2023, 60(2): 456-471.