拼接法（Patched Method）

本文作者：天疆说
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定义

拼接法（Patched Method）是轨道力学中一种经典的数值设计方法，其核心思想是将复杂的转移轨迹划分为若干段较为简单的子弧段，每段采用各自最合适的动力学模型进行描述和积分，并在相邻段的连接点处通过匹配位置和速度状态向量实现"拼接"。该方法的优势在于降低了单一模型下求解全局轨迹的复杂度，使得每段轨道可以利用各自区域内主导的力学特性进行高效计算。

在地月远距离逆行轨道（DRO）的转移轨道设计中，拼接法广泛应用于将从近地轨道（LEO）出发的飞行弧段和到达DRO的末段弧段在近月点（perilune）处进行拼接，从而构建完整的转移方案。

核心要素

基本原理

拼接法的核心步骤可概括为：

分段：根据轨迹经过的引力主导区域，将完整轨迹划分为 $N$ 段子弧。每段选取最能反映该区域引力特征的动力学模型。
独立求解：在每段内，使用对应的动力学方程（如二体模型、限制性三体问题模型等）对轨迹进行积分和优化。
状态匹配：在相邻段的连接点 $\mathbf{r}_i^-$ （前段末端）和 $\mathbf{r}_i^+$ （后段起始）处，要求位置和速度连续：

\mathbf{r}_i^- = \mathbf{r}_i^+, \quad \mathbf{v}_i^- = \mathbf{v}_i^+ \quad (i = 1, 2, \ldots, N-1)

迭代修正：若连接点处状态不满足匹配条件，则通过微分修正或优化算法调整各段的自由参数，直至所有拼接条件收敛。

在地月 DRO 转移中的应用

魏赞等（2026）在研究地月远距离逆行轨道族的月球借力转移入轨方案时，采用拼接法在近月点处将轨迹分为两段：

段落	弧段描述	动力学模型	关键参数
第一段	LEO 至近月点	地月CR3BP 或高精度星历模型	LEO 出发速度、转移时间
第二段	近月点至 DRO	地月CR3BP	近月点高度、DRO 终端状态

在近月点处，两段轨道的速度方向可能不同（因为月球借力改变了速度矢量方向），通过引入变推力月球飞越（Powered Lunar Flyby, PLF）机动，可在近月点处施加脉冲使速度矢量匹配，从而完成拼接。

拼接条件的数学表达

设近月点状态为 $(\mathbf{r}_{\text{pl}}, \mathbf{v}_{\text{pl}})$ ，第一段末端到达近月点时的速度为 $\mathbf{v}_{\text{pl}}^-$ ，第二段从近月点出发的速度为 $\mathbf{v}_{\text{pl}}^+$ 。拼接条件为：

\mathbf{r}_{\text{pl}}^- = \mathbf{r}_{\text{pl}}^+ = \mathbf{r}_{\text{pl}}

\mathbf{v}_{\text{pl}}^+ = \mathbf{v}_{\text{pl}}^- + \Delta \mathbf{v}_{\text{PLF}}

其中 $\Delta \mathbf{v}_{\text{PLF}}$ 为月球飞越处施加的速度增量。当 $\Delta \mathbf{v}_{\text{PLF}} = \mathbf{0}$ 时，即为纯引力借力（无动力飞越），对应自然拼接。

与连续法的对比

特征	拼接法	连续法（直接法）
模型使用	每段用不同模型	全程统一模型
计算效率	较高（各段独立求解）	较低（全局优化）
物理可解释性	强（每段对应明确的飞行阶段）	较弱
精度	取决于拼接点匹配精度	取决于离散化密度
适用场景	概念设计、初步方案筛选	高精度任务设计

局限性

拼接点处的动力学模型切换可能引入不连续的物理假设误差
对于强非线性区域（如低空飞越），分段模型可能不够精确
需要迭代求解拼接条件，收敛性依赖于初始猜测的质量

应用价值

在地月空间任务设计中，拼接法是最常用的概念设计工具之一：

DRO 入轨设计：利用拼接法可以快速筛选从 LEO 到 DRO 的可行转移窗口，评估不同发射条件下的 $\Delta v$ 需求
月球借力轨道设计：通过在近月点处的拼接，自然引入月球引力辅助效应，降低转移所需的能量
多段转移方案：对于包含地球借力、月球借力的复杂多体转移，拼接法提供了直观的物理分段框架

参考文献

魏赞等. 地月远距离逆行轨道族月球借力转移入轨研究[J]. 北京航空航天大学学报, 2026.
Bate R R, Mueller D D, White J E. Fundamentals of Astrodynamics[M]. Dover Publications, 1971.
Stern S A, et al. Patched-conic and CR3BP methods for lunar transfer design[C]. AAS/AIAA Astrodynamics Specialist Conference, 2019.