正则化（Regularization）

本文作者：天疆说

本文编辑来源：Howell K C. Three-dimensional, periodic halo orbits in the restricted three-body problem[D]. Stanford University, 1983.

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定义

正则化（Regularization）是一类消除动力学方程奇异性数值计算技术。在限制性三体问题中，当航天器接近主天体时，标准方程中的引力项 1/r21/r^2 产生数值溢出。正则化通过独立变量变换（时间变换）和坐标变换（Kustaanheimo-Stiefel 变换）将奇点移除，使积分能够在近交点区域顺利进行。

在晕轨道数值计算中，正则化技术使研究者能够追踪接近月球的近直线轨道（Almost-Rectilinear Orbit），从而完成从平动点延伸至主天体的完整轨道族计算。

核心要素

时间变换

标准方程在 r→0r \to 0 时存在奇异性。首先对时间变量做变换：

dtdτ=r\frac{dt}{d\tau} = r

其中 rr 为航天器到最近主天体的距离。变换后，独立变量由 tt 变为 τ\tau，积分步长能够自适应调整，在近交点附近自动加密。

Kustaanheimo-Stiefel（KS）坐标变换

为进一步消除奇异性，引入四维 KS 坐标 u=(u1,u2,u3,u4)T\mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3, u_4)^T。原三维位置向量 R=(x,y,z)T\mathbf{R} = (x, y, z)^T 与 KS 坐标的关系为：

R=L(u)u\mathbf{R} = L(\mathbf{u})\mathbf{u}

其中 L(u)L(\mathbf{u}) 为 4×44 \times 4 变换矩阵：

L(u)=(u1−u2−u3u4u2u1−u4−u3u3u4u1u2u4−u3u2−u1)L(\mathbf{u}) = \begin{pmatrix} u_1 & -u_2 & -u_3 & u_4 \\ u_2 & u_1 & -u_4 & -u_3 \\ u_3 & u_4 & u_1 & u_2 \\ u_4 & -u_3 & u_2 & -u_1 \end{pmatrix}

KS 变换的核心性质：r=u⋅ur = \mathbf{u} \cdot \mathbf{u}，即四维向量的模平方等于原距离。

正则化运动方程

经过时间变换和 KS 坐标变换后，正则化运动方程为：

u′′−h2u=LT(u)BL(u)u′+(u⋅u)2LT(u)F\mathbf{u}'' - \frac{h}{2}\mathbf{u} = L^T(\mathbf{u})BL(\mathbf{u})\mathbf{u}' + \frac{(\mathbf{u}\cdot\mathbf{u})}{2}L^T(\mathbf{u})\mathbf{F}

其中 hh 为修正后的角动量相关量：

h=1−μd+12(x∗2+y2)−C2h = \frac{1-\mu}{d} + \frac{1}{2}(x^{*2}+y^2) - \frac{C}{2}

该方程不包含 1/r1/r 奇点项，可在 r→0r \to 0 区域正常积分。

正则化的状态转移矩阵

正则化后，状态向量扩展为 8 维 Y=(u1,u2,u3,u4,u1′,u2′,u3′,u4′)T\mathbf{Y} = (u_1, u_2, u_3, u_4, u_1', u_2', u_3', u_4')^T。对应的状态转移矩阵 Ψ(τ,0)\Psi(\tau, 0) 为 8×88 \times 8 矩阵，满足：

ddτΨ(τ,0)=A(τ)Ψ(τ,0)\frac{d}{d\tau}\Psi(\tau, 0) = A(\tau)\Psi(\tau, 0)

其中 A(τ)A(\tau) 包含正则化方程的雅可比信息。

计算流程

晕轨道的正则化计算流程如下：

  1. 初始条件转换：将原始初始条件 X0=(x0,0,z0,0,y˙0,0)T\mathbf{X}_0 = (x_0, 0, z_0, 0, \dot{y}_0, 0)^T 转换为 KS 坐标初始条件 Y0\mathbf{Y}_0
  2. 选取 u4=0u_4 = 0：由于引入第四维，u4u_4 可任意选取
  3. 积分正则化方程：共 73 个方程（8 个正则化方程 + 1 个时间方程 + 64 个状态转移矩阵方程）
  4. 检测 xOzxOz 平面穿越：积分至 ∣y∣<10−11|y| < 10^{-11} 定义为半周期 T/2T/2
  5. 周期条件修正：利用 Ψ\Psi 修正初始条件直至 ∣x˙∣,∣z˙∣<10−8|\dot{x}|, |\dot{z}| < 10^{-8}

在轨道族计算中的应用

近直线轨道的追踪

在 L3 轨道族（μ=0.96\mu = 0.96）的计算中，正则化技术使得从 L3 点延伸至主天体的完整轨道族得以完成。在普通方程中，当轨道接近月球时（近交点），数值积分因奇异性而失效；正则化后，积分可顺利完成。

L1-L2 桥接轨道族

正则化技术同样用于计算 L1-L2 桥接轨道族（Bridge Family）。这些轨道在近月点附近极度拉伸呈近直线状，常规方程无法追踪。通过正则化，可以验证 Breakwell 和 Brown 的近似解析方法在近直线区域的准确性。

计算效率

正则化方程组包含 73 个方程（普通方程仅 42-43 个），每一步计算量更大。但由于在近交点区域可采用大得多的积分步长（可能相差 2-3 个数量级），总体效率反而更高。

相关概念

参考文献

  • Howell K C. Three-dimensional, periodic halo orbits in the restricted three-body problem[D]. Stanford University, 1983.
  • Bettis D G, Szebehely V. Numerical treatment of the regularization of the gravitational motion[J]. Celestial Mechanics, 1971.
  • Kustaanheimo P, Stiefel E. Perturbation theory of Kepler motion based on spinor regularization[J]. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 1965.
  • Breakwell J V, Brown J V. An "almost rectilinear" halo orbit[J]. Celestial Mechanics, 1979.