协态归一化（Co-state Normalization）

本文作者：天疆说

参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室

参考文献：关宇同等. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.

定义

协态归一化（Co-state Normalization）是将协态变量除以其初始值的欧几里得范数，将无穷多组协态解映射到单位球面上的技术。在最优控制问题的打靶法求解中，协态边界通常未知，导致搜索空间过大。归一化技术有效缩减了搜索空间，提高了找到收敛初始猜测的概率。

数学描述

归一化公式

对于协态向量 $\boldsymbol{\lambda}(t) = [\lambda_0; \boldsymbol{\lambda}_r(t); \boldsymbol{\lambda}_v(t); \lambda_m(t)]$，归一化定义为：

归一化后满足：

物理意义

协态归一化的物理意义：

• 将协态变量约束在单位球面上
• 消除了解的不唯一性（协态乘以任意非零常数仍满足方程）
• 将搜索空间从无穷大缩减到单位球面

在两点边值问题中的应用

问题描述

在航天器轨道优化的间接法中，最优控制问题转化为两点边值问题（TPBVP）：

• 初始状态：已知 $\mathbf{r}(t_0), \mathbf{v}(t_0), m(t_0)$
• 终端状态：需满足 $\mathbf{r}(t_f) = \mathbf{r}_{target}, \mathbf{v}(t_f) = \mathbf{v}_{target}$
• 未知量：初始协态 $\boldsymbol{\lambda}(t_0)$

协态边界的复杂性

协态边界是自由的（由横截条件决定），每个协态分量可在 $[-\infty, +\infty]$ 取值。这导致打靶函数的解空间几乎无限大。

归一化的优势

通过协态归一化：

1. 协态初值被限制在单位球面上（8维空间的7维流形）
2. 定义 7 个角度变量 $\chi_\vartheta (\vartheta = 1, 2, \cdots, 7)$
3. 将角度变量映射到 $[0, 1]$ 区间的优化变量 $X_\vartheta$

角度变量映射

赵海涵等（2026）的应用

在 RLEPSO-同伦方法中：

1. RLEPSO 优化归一化协态（7 个角度变量 + 终端时间 = 8 维优化变量）
2. 归一化协态作为同伦打靶的初始猜测
3. 同伦参数递减至零，获得燃料最优协态

相关概念

• 打靶法（Shooting Method）
• 协态变量（Co-state Variables）
• 两点边值问题（TPBVP）
• 同伦法（Homotopy Method）
• 庞特里亚金极值原理（Pontryagin's Maximum Principle）

参考文献

• 关宇同, 高长生, 胡玉东, 赵海涵. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.
• Betts J T. Practical Methods for Optimal Control and Estimation Using Nonlinear Programming[M]. SIAM, 2010.