Newton-Euler 方程（Newton-Euler Equations）

本文作者：天疆说
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定义

Newton-Euler 方程是描述刚体平移运动（Newton 第二定律）和转动运动（欧拉方程）的完整动力学方程组。对于飞行器，方程描述了作用在飞行器上的外力与飞行器质心运动的关系，以及外力矩与姿态运动的关系。

\vec{F} = m\vec{a}

分量形式（机体轴）：

F_x = m(\dot{u} + qw - rv - g\sin\theta)

F_y = m(\dot{v} + ru - pw + g\cos\theta\sin\phi)

F_z = m(\dot{w} + pv - qu + g\cos\theta\cos\phi)

\vec{H} = \mathbf{I} \vec{\omega}

其中 $\mathbf{I}$ 为惯性张量：

\mathbf{I} = \begin{bmatrix} I_{xx} & -I_{xy} & -I_{xz} \\ -I_{yx} & I_{yy} & -I_{yz} \\ -I_{zx} & -I_{zy} & I_{zz} \end{bmatrix}

\vec{M} = \frac{d\vec{H}}{dt} = \mathbf{I}\dot{\vec{\omega}} + \vec{\omega} \times (\mathbf{I}\vec{\omega})

分量形式：

L = I_{xx}\dot{p} - (I_{yy} - I_{zz})qr

M = I_{yy}\dot{q} - (I_{zz} - I_{xx})rp

N = I_{zz}\dot{r} - (I_{xx} - I_{yy})pq

由于飞艇体积大、重量轻，惯性矩阵特点：

流体附加质量影响显著：

\mathbf{I}_{total} = \mathbf{I}_{rigid} + \mathbf{I}_{added}

椭球体的附加惯性：

I_{a,11} = \frac{1}{3}\rho V \frac{b^2 c^2}{a^2 + b^2}