多圈Halo轨道（Multi-Revolution Halo Orbit）

本文作者：天疆说

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定义

多圈Halo轨道（Multi-Revolution Halo Orbit）是椭圆限制性三体问题（ERTBP）下的周期轨道。由于小主天体轨道偏心率的周期性扰动，CRTBP 下的周期轨道无法一直满足周期性条件，只存在周期为小主天体轨道周期整数倍的周期轨道。Peng 等采用弧长延拓法求解，有效解决了基于偏心率单参数延拓出现奇点的问题。

核心要素

ERTBP 框架下的周期性约束

与圆形限制性三体问题（CRTBP）不同，ERTBP 中小主天体（如月球）沿椭圆轨道运动，导致系统不具有自治性：

• 非自治系统：ERTBP 显含时间项，小主天体轨道偏心率引入周期性扰动
• 周期性条件：仅当轨道周期为小主天体轨道周期的整数倍（$T = nT_M$，$n$ 为正整数）时，才存在满足周期性条件的解
• 多圈结构：航天器在返回初始状态前需绕平动点运行多圈，形成空间中的多圈缠绕轨迹

弧长延拓法

Peng 等提出的弧长延拓法是求解多圈 Halo 轨道的关键技术：

• 参数化选择：以轨道弧长作为延拓参数，替代传统的偏心率单参数延拓
• 奇点规避：偏心率参数延拓在特定值处会出现雅可比矩阵奇异的问题，弧长延拓法有效解决了这一困难
• 连续追踪：通过弧长参数的连续变化，可追踪从 CRTBP 周期解到 ERTBP 多圈轨道的完整轨道族

CRTBP 到 ERTBP 的过渡

多圈 Halo 轨道可视为 CRTBP Halo 轨道在引入偏心率扰动后的自然推广：

• 偏心率为零：ERTBP 退化为 CRTBP，多圈 Halo 轨道退化为标准 Halo 轨道（$n=1$）
• 偏心率较小时：CRTBP Halo 轨道的周期性被破坏，需要多个轨道周期后才能近似闭合
• 偏心率增大：扰动效应增强，多圈特征更加显著，轨道形态发生明显变化

稳定性与维持控制

多圈 Halo 轨道的稳定性分析较 CRTBP Halo 轨道更为复杂：

• Floquet 理论推广：需在非自治系统框架下分析轨道的稳定性特征
• 维持控制策略：由于偏心率扰动的长期累积效应，维持控制需考虑更长时间尺度的动力学行为
• 实际任务应用：多圈 Halo 轨道为实际地月任务中更精确的轨道设计提供理论基础

应用价值

多圈 Halo 轨道在地月空间任务中具有重要理论与应用价值：

• 精确轨道设计：考虑月球轨道偏心率的真实动力学模型，提供更精确的轨道设计
• 任务窗口规划：多圈周期性条件为任务发射窗口和轨道转移提供约束
• 平动点任务拓展：为平动点附近的长期驻留任务提供更丰富的轨道选择

相关概念

• Halo 轨道（Halo Orbit）
• Lyapunov 轨道（Lyapunov Orbit）
• 准周期轨道（Quasi-Periodic Orbit）

参考文献

• Peng H, Bai X. Constructing cislunar multi-revolution halo orbits in the elliptic restricted three-body problem[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2019.
• Richardson D L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J]. Celestial Mechanics, 1980, 22(3): 241-253.
• 唐歌畅等. 椭圆限制性三体问题下周期轨道研究进展[J]. 力学学报, 2020.