Bang-bang 控制（Bang-bang Control）

本文作者：天疆说
参编单位：哈尔滨工业大学航天学院、微小型航天器快速设计与智能集群全国重点实验室
参考文献：关宇同等. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.

定义

Bang-bang 控制是一种时间最优控制律，其特点是控制输入仅在允许范围的两个极端值之间切换：在最大推力和零推力之间切换，没有中间值。这种控制方式得名于推力开关时发出的"砰"声。

数学描述

对于燃料最优控制问题，根据庞特里亚金极值原理，最优推力比满足：

u_j^* = \begin{cases} 0, & \rho_j > 0 \\ 1, & \rho_j < 0 \\ \in (0,1), & \rho_j = 0 \end{cases}

其中 $\rho_j = 1 - \lambda_{mj} - \frac{I_{sp}g_0}{m_j}\|\lambda_{vj}\|$ 为切换函数。

当推力比为 0 或 1 时，控制系统处于"关"或"开"的极端状态，形成 Bang-bang 控制。

特性

时间最优性

Bang-bang 控制是线性系统的最优控制律，具有时间最优特性：

推力始终保持最大或为零
不存在中间推力值的持续燃烧
切换次数最少化

数值困难

Bang-bang 控制的主要数值困难：

微分方程右侧不连续
无法直接数值积分
切换时刻精确确定困难

与同伦法的关系

同伦法的平滑作用

同伦法通过引入连续化的性能指标，将 Bang-bang 控制转化为连续控制：

J = \sum_{j=1}^{2} \frac{\lambda_{j0}F_j}{I_{sp}g_0} \int_{t_0}^{t_f} \left[u_j - \varepsilon u_j(1-u_j)\right] dt

当 $\varepsilon > 0$ 时，最优控制变为：

u_j^* = \begin{cases} 0, & \rho_j > \varepsilon \\ 1, & \rho_j < -\varepsilon \\ \frac{1}{2} - \frac{\rho_j}{2\varepsilon}, & |\rho_j| \leq \varepsilon \end{cases}

控制律在边界层内连续可微。

过渡策略

赵海涵等（2026）采用同伦参数序列：

\varepsilon_d = 10^{-(d/15)}, \quad d = 1, 2, \cdots, 60

逐步将 $\varepsilon$ 从 1 过渡到 0，获得燃料最优 Bang-bang 控制。

在航天器交会中的应用

在航天器协同交会问题中：

燃料最优控制律呈 Bang-bang 形式
适用于有限推力推进系统
同伦法有效解决了其数值积分困难

相关概念

参考文献

关宇同, 高长生, 胡玉东, 赵海涵. 面向航天器远距离协同交会的超参数自主调优-同伦方法[J]. 航天器环境工程, 2026.
Pontryagin L S, et al. The Mathematical Theory of Optimal Processes[M]. Wiley, 1962.
Bryson A E, Ho Y C. Applied Optimal Control[M]. Hemisphere, 1975.