轨道摄动（Orbital Perturbations）

本文作者：天疆说

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定义

轨道摄动（orbital perturbations）是指航天器实际轨道相对于理想 Kepler 二体运动的偏离。二体运动假设中心天体为均匀球体、无其他作用力——这是分析基准，但真实航天器还受到非球形引力场（中心天体偏离球对称）、第三体引力、大气阻力、太阳辐射压等附加力的作用，这些力构成的摄动加速度 ap\mathbf{a}_p 叠加在二体加速度上：

r¨=−μr3r+ap\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{\mu}{r^3}\mathbf{r} + \mathbf{a}_p

这一形式称为 Cowell 公式（Cowell's formulation）（Vallado 2022, Ch.8）。

"Cowell 公式" 与 "Cowell 方法" 是两个不同概念：公式指将摄动加速度线性叠加到二体方程右端，是问题描述方式；方法指具体的数值积分技术（见下文"摄动处理方法"一节）。各摄动源可线性叠加，ap=∑iapi\mathbf{a}_p = \sum_i \mathbf{a}_{p_i}（Vallado 2022）。

需要指出，摄动不一定"小"——当航天器大气再入时阻力与二体力同量级，三体问题中第三体引力可以大过主引力。此时问题本质已不再是"摄动"，而是完全不同的动力学系统（Vallado 2022, Ch.8）。

摄动源的分类

保守摄动与非保守摄动

按力的物理性质，分为两类（Vallado 2022, Ch.8）：

  • 保守摄动（conservative）：力场可写为势函数的梯度 a=∇U\mathbf{a} = \nabla U，系统总能量守恒。包括中心天体非球形引力、第三体引力、固体潮/海潮。这类摄动一般通过摄动函数（disturbing function）R=U−U2-bodyR = U - U_{2\text{-body}} 处理。

  • 非保守摄动（nonconservative）：无势函数，系统能量变化。包括大气阻力、太阳辐射压、推力。这类摄动直接以摄动力（disturbing force）形式建模。

按物理来源分类

摄动源性质主要影响区典型量级（低轨，10−3g010^{-3} g_0）典型量级（地月，10−3g010^{-3} g_0）
中心天体非球形引力（J2 项）保守LEO→MEO∼10\sim 10≪1\ll 1
第三体引力（日月行星）保守GEO 以上、地月≪1\ll 1（LEO）∼1–10\sim 1\text{--}10
大气阻力非保守LEO (<800 km)∼0.1–10\sim 0.1\text{--}100（月面无大气）
太阳辐射压非保守GEO 以上、地月≪1\ll 1（LEO）∼0.1–1\sim 0.1\text{--}1
相对论效应—高精度导航≪1\ll 1（所有区）≪1\ll 1

量级排序的依据：Vallado (2022, Ch.8-9)；地月空间的具体模型配置见下文。

按轨道区给的摄动主导项（选模指引）

  • LEO（<800 km）：大气阻力 > J2 > 其它。以阻力为主要误差源，需高精度密度模型（如 NRLMSISE-00）。

  • MEO（800 km ~ 30,000 km）：J2 占主导，阻力衰减，第三体开始显现。

  • GEO（~35,800 km）：第三体 + 太阳光压 > J2。光压对长期轨道演化影响显著。

  • 地月空间：月球第三体引力是决定性摄动源；太阳摄动次之；J2 在月球低轨有意义（Vallado 2022, Ch.8.6.3）。Cislunar debris 定轨实践中，地球引力场只需球谐展开到 5 阶×5 阶就足够，配以日月木星点质量模型 + 炮弹式光压模型，RKF7(8) 变步长积分器（Cowell 公式）可获得最长 2 年的轨道预报精度（Framework paper, 2023）。

第三体引力摄动

航天器受到除中心天体外其他天体的引力作用。以地球为中心天体、太阳为第三体，摄动加速度为（Vallado 2022, Eq. 8-34）：

a3rd=μ3(rsat−3rsat−33−r⊕−3r⊕−33)\mathbf{a}_{3\text{rd}} = \mu_3 \left( \frac{\mathbf{r}_{sat-3}}{r_{sat-3}^3} - \frac{\mathbf{r}_{\oplus-3}}{r_{\oplus-3}^3} \right)

括号中第一项是直接效应（太阳对航天器的直接引力），第二项是间接效应（太阳对地心的引力）。两者接近同量级、相减时易产生数值消去误差（Vallado 2022, Ch.8.6.3）。通过 LeGendre 多项式展开，直接项的最低阶恰好与间接项抵消，这是第三体摄动在近地轨道上通常较小的代数原因。

在地月空间中，月球第三体的作用远远超过太阳：月球距地球仅约 384,400 km，摄动加速度与二体加速度的比值在平动点附近可达 O(1)\mathcal{O}(1)，因此地月轨道的本质已不是"受摄二体问题"，而需要用限制性三体问题（CR3BP）来建模。

月球偏心率摄动

地月系的三体模型通常简化为圆型 CR3BP（月球圆轨、地月距恒定）。但实际上月球轨道偏心率为 e≈0.0549e \approx 0.0549，地月距在 363,000–405,000363,000\text{--}405,000 km 之间周期性变化，周期约 27.3 天（恒星月）。这一偏心率使平动点位置和 halo/NRHO 等轨道族的几何与周期均随月球相位变化，是地月平动点轨道比日地平动点轨道更"难维持"的根本原因之一。Folta et al. (2010) 指出，为完整刻画这一周期效应，仿真时长至少需覆盖一个月球轨道周期（约 27.3 天）。

相对论修正

高精度轨道确定和导航定轨中，广义相对论引入的时空度规偏差需要修正。主要包括（Vallado 2022, Ch.8.6.5；IAU 2000 决议）：

  • Schwarzschild 项：中心天体质量造成的时空弯曲对加速度的修正，arel=μc2r3[(4μr−v2)r+4(r⋅v)v]\mathbf{a}_{rel} = \frac{\mu}{c^2 r^3}\left[ \left( \frac{4\mu}{r} - v^2 \right)\mathbf{r} + 4(\mathbf{r}\cdot\mathbf{v})\mathbf{v} \right]。

  • 引力时延（Shapiro delay）：信号跨越不同引力势区域的传播时间修正。

  • Sagnac 效应：旋转参考系中的信号传播时间修正。

在地月空间星间测距自主定轨中，相对论效应修正对毫米级测距精度是必要条件（丛佃伟等, 2025）。

摄动处理方法

处理轨道摄动的手段分为三大类（Vallado 2022, Ch.8-9）。

特殊摄动法（Special Perturbations）

即数值积分法——直接将 Cowell 公式中的 ap\mathbf{a}_p 计算出来，用数值积分器推进位置和速度。结果是离散数值解，含所有摄动引入的长期项和周期项，精度最高，但计算量大。两种历史变体：

  • Cowell 方法（Cowell's method）：直接积分完整的加速度（含二体部）。现代所有高精度轨道预报软件（GMAT、ODTK、STK/OD）均采用 Cowell 公式 + 高阶数值积分器（Runge-Kutta-Fehlberg、Gauss-Jackson、Adams-Cowell）。

  • Encke 方法（Encke's method）：以一条二体密切轨道为参考，只积分摄动引起的偏差 δr\delta\mathbf{r}。偏差量小，历史上一度因计算资源受限而比 Cowell 法更高效，但现代计算能力已使其不再必要（Vallado 2022, Ch.8.3）。不过其核心思路——与参考轨道的偏差积分——在轨道确定和精度分析中仍有应用。

实际工程中广泛采用的是 时间正则化 Cowell 积分（s-integration）：不在均匀时间步长上积分，而在偏心近点角或真近点角等轨道参考变量上等步积分，使近心点步长自动缩、远心点步长自动放，极大提升偏心律轨道的积分效率（Vallado 2022, Ch.8.5.1）。

一般摄动法（General Perturbations）

即解析/半解析方法——通过数学推导得到轨道要素变化率（长期项和周期项）的封闭或级数表达式。核心工具是变参数法（Variation of Parameters, VOP），将摄动加速度投影为密切轨道根数的变化率。

  • Lagrange 行星方程（Lagrange Planetary Equations）：适用于保守摄动。以摄动函数 RR 的偏导数表达 6 个轨道根数的时间变率。

  • Gauss 型摄动方程（Gaussian VOP）：适用于非保守摄动。将摄动加速度按径向（S）、横向（T）、法向（W）三个分量分解，直接导出轨道根数变化率——适合小推力、大气阻力等非势场力的计算。典型形式（Vallado 2022, Eq. 9-14）：

dadt=2a2vμaS,dedt=1v[2(e+cos⁡ν)aS−rasin⁡ν⋅aT],…\frac{da}{dt} = \frac{2a^2 v}{\mu} a_S, \quad \frac{de}{dt} = \frac{1}{v}\left[ 2(e + \cos\nu) a_S - \frac{r}{a}\sin\nu \cdot a_T \right], \quad \dots

  • Kozai 方法、Brouwer 方法：均基于 VOP 发展，将摄动函数的周期项平均掉，提取长期项以获得简化的分析预报。

半解析法（Semianalytical）

解析计算长期效应、数值积分处理周期效应，如 DSST（Draper Semianalytical Satellite Theory）。在效率和精度间取折中。

地月空间摄动模型的工程实践

对地月空间碎片的定轨与预报，实践表明以下模型配置可在精度和计算代价之间取得最优平衡（Framework paper, 2023）：

  • 地球引力：球谐函数展开至 5 阶×5 阶（SH[5,5]）。

  • 第三体点质量：太阳、月球、木星（DE440 星历）。

  • 太阳光压：炮弹模型（Cr=1.2C_r = 1.2，圆柱阴影模型）。

  • 大气阻力：仅在近地点附近通过 NRLMSISE-00 模型计入。

  • 积分器：RKF7(8) 变步长，误差容限 10−1010^{-10}。

  • 传播器：Cowell 公式。

在这一模型框架下，对嫦娥二号助推器可获最长 2 年的预报精度（PSA），嫦娥三号助推器 50 天到 1 年不等。

相关概念

参考文献

  • Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications（Ch.8 Special Perturbations—摄动定义、Cowell/Encke 公式、数值积分实现；Ch.9 General Perturbations—变参数法、Gauss/Lagrange 方程；Ch.8.6.3 Third-Body Perturbations—第三体摄动加速度公式）

  • A model framework for high-accuracy orbit determination and propagation of cislunar space debris, 2023（地月空间碎片的选模实践：SH[5,5] + DE440 点质量 + 炮弹光压 + RKF7(8)，验证最长 2 年预报精度）

  • Battin, 1999, An Introduction to the Mathematics and Methods of Astrodynamics（摄动理论的数学基础）

  • Folta et al., 2010, Earth-Moon libration point orbit stationkeeping: Theory, modeling, and operations（月球偏心率对平动点轨道保持的影响）

  • 丛佃伟等, 2025, 地月空间航天器自主导航技术及研究进展（地月导航中的相对论效应修正需求）

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Contributors: Ou Yang Jiahong