平动点（Libration Point / Lagrangian Point）

本文作者：天疆说

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定义

限制性三体问题中有五个平衡点：第三体（质量可忽略）在其上与两天体保持相对固定位置。三个共线平动点 L1、L2、L3 位于两天体连线上，归于 Euler；两个三角平动点 L4、L5 位于以两天体连线为底边的等边三角形顶点，归于 Lagrange [310][316]。libration point是力学界称谓，工程文献常称Lagrangian point。

地月系中的位置（按 Qiao [344] 的归一化距离以地月距 384,400 km 换算）：L1 距月约 5.8 万 km、距地约 32.6 万 km；L2 距月约 6.45 万 km、距地约 44.9 万 km；L3 位于地球背月一侧，距地约 38.2 万 km。

稳定性

• 共线点不稳定：线性化特征值含一对实特征值，运动模式为鞍 × 中心 × 中心（[344]；[310] 证明共线点是平面上的鞍点）。正因如此，其附近轨道带有双曲不变流形，既是工程价值所在（低能转移通道），也给目标编目带来挑战。
• 三角点条件稳定：质量比 μ 小于 Routh 临界值 μ₁≈0.0385 时线性稳定；地月系 μ≈0.0122 满足 [316][310]。严格说，平面情形下个别共振质量比存在例外，但地月 μ 不落在任何例外值上。

零速度面、希尔区域与颈部通道

雅可比积分 C 约束运动可达的位置集合 ℌ(C)={x : W(x)≥C}，称希尔区域（Hill's region），其边界为零速度曲线 [310]。临界雅可比值排序 C_L1 > C_L2 > C_L3 > C_L4,5 [316]：C 从高位下降时，包围地球与月球的两个零速度面先在 L1 处相接（C=C₁），C 稍低于 C₁ 时在 L1 处稍稍打开一条狭窄走廊，这是飞行器可经 L1 走廊奔月的必要条件而非充分条件，能否成行还看转移轨道的起始状态 [79]。

L1/L2 gateway（门廊）：轨迹由月球附近通往外部区域（或反向）所经的 L1/L2 附近通道区域的描述性用语；在自然轨迹聚类研究中用作行程标签（撞月 / 经 L1 或 L2 离开 / 停留月球附近）[169]。

L1 转移走廊

经 L1 走廊的转移 [79]：L1 稳定流形在 C≈C₁ 时距地球最近约 0.1 倍地月距离，到不了低高度停泊轨道，故需连接弧段：近地停泊轨道上施加第一次脉冲、进入 L1 稳定流形时第二次，无预定环月轨道时飞行器进入月球引力范围后往往自动被月球俘获（此时比 Hohmann 省能）；有预定环月轨道时一般在近月点附近施加第三次脉冲。算例从 L1 稳定流形到经 L1 点耗时约 363 天；综述表格给出该类转移 >4100 m/s、几十到几百天。对载人登月，原文评价是能量往往并不节省既耗时间又耗能量，并不可取。

应用

共线点虽不稳定，其附近的晕轨道、准晕轨道与李萨如轨道可以低代价维持，且不变流形可用于低能转移 [386]。任务实例：鹊桥中继星在地月 L2 晕轨道支持月球背面通信；ARTEMIS 进入 L1/L2 李萨如轨道；CAPSTONE 验证 L2 南族 NRHO（[344] 引言列举）。三角点方向见蝌蚪轨道与马蹄轨道。

术语变体对照

相关概念

• 平动点周期轨道（Libration Point Orbit, LPO）
• 晕轨道（Halo Orbit）
• 蝌蚪轨道（Tadpole Orbit）
• 马蹄轨道（Horseshoe Orbit）
• 弱稳定边界转移轨道（Weak Stability Boundary Transfer Trajectory）