Euler-Hill Frame）

本文作者：天疆说
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定义

局部轨道坐标系是原点取在航天器上、随其轨道运动而运动的直角坐标系，用于把相对运动、推力方向和测量误差分解成直观的径向/横向/法向分量。不同名称（RSW、RTN、LVLH、Hill、Euler-Hill）指同一族框架，但轴定义存在约定差异，读方程前必须确认（Vallado 2022）。

RSW（RTN / LVLH）

RSW（radial-transverse-normal）系的三个轴（Vallado 2022）：

R 轴：沿从中心天体指向航天器的位置矢量方向（径向）；
S 轴：在轨道面内垂直于 R、指向航天器运动方向（横向）——注意 S 只在圆轨道（或椭圆轨道的拱点）才与速度矢量重合；
W 轴：沿轨道角动量方向（法向）。

RSW 又称高斯坐标系，别名 RTN（radial, transverse, normal）或 LVLH（local vertical, local horizontal）。推力方向的球面控制量常在 RSW 中映射为笛卡尔分量：基矢量由航天器相对中心天体的位置与速度实时计算；当位置与速度共线时 R 与 S 退化（径向与横向不再正交可辨），须切换为笛卡尔控制变量（Aziz 等 2019）。注意各组织对 LVLH 的轴定义并不统一——有的把主轴取为垂直于位置矢量，务必先看该文的自定义（Vallado 2022）。

NTW 与 PQW

NTW（radial-tangent-normal）：T 轴始终沿速度矢量（切向），N 轴在轨道面内垂直于 T，W 沿角动量方向。阻力分析用 NTW（阻力总是沿速度反方向），它的切向位移与 RSW 的横向位移含义不同（Vallado 2022）。
PQW（perifocal）：原点在天体中心、基本平面为轨道面、P 轴指向近拱点。用于二体轨道处理。
EQW（equinoctial）：以轨道面为基本平面、E 轴由春分点经升交点旋转确定，规避圆/赤道轨道奇点（Vallado 2022）。

Hill / Euler-Hill 坐标系与 CW 方程

Hill 坐标系（Euler-Hill 系）是以参考航天器（target）为原点的局部系：x 沿径向（远离中心天体为正），y 沿航迹方向，z 垂直轨道面。当两航天器距离远小于轨道半径、参考轨道近圆时，相对运动可用 Clohessy-Wiltshire（CW）方程线性化描述，即常说的 Hill 方程（Clohessy 和 Wiltshire 1960；Hill 1878）：

$\ddot{x} - 3n^2 x - 2n \dot{y} = f_x$ ， $\ddot{y} + 2n \dot{x} = f_y$ ， $\ddot{z} + n^2 z = f_z$

其中 $n$ 为参考轨道平均运动角速度。CW 方程是近距交会对接、编队相对运动分析的基础。注意两个局限：一是线性化假设（距离远小于轨道半径）；二是把参考轨道当圆轨道，故 S/y 轴与速度重合只在圆轨道成立。对 Halo 等非开普勒轨道，经典 Hill 系不再适用，需改用基于平动点的旋转坐标系（见会合坐标系）。

应用要点

局部轨道系是相对导航、编队保持、交会对接、推力建模与摄动方程（高斯型摄动运动方程把摄动力分解为 R/S/W 分量）的标准工具（Vallado 2022）。选系时要明确：RSW 适合描述沿轨道方向的误差与机动，NTW 适合沿速度方向的推力/阻力，Hill/Euler-Hill 适合线性化的近距相对运动。

参考文献

Vallado, 2022, Fundamentals of Astrodynamics and Applications（RSW/NTW/EQW/PQW 定义与变换，Hill 方程）
Clohessy 和 Wiltshire, 1960, Terminal guidance system for satellite rendezvous
Hill, 1878, Researches in the lunar theory（Hill 方程出处）
Aziz 等, 2019, JGCD（RSW 退化与 CRTBP 小推力优化）
Marchand 和 Howell, 2005（惯性系固定编队）
Héritier 和 Howell, 2014（惯性系相对运动方程）
周净扬和周荻, 2007（月球探测器软着陆推力方向建模）
Catlin 和 McLaughlin, 2007（平动点主轴坐标系）