科氏定理（Coriolis Theorem / Transport Theorem）

本文作者：天疆说

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定义

科氏定理（Coriolis theorem，又称输运定理 transport theorem）描述同一矢量在惯性系 I\mathcal I 与相对惯性系以角速度 ω⃗\vec\omega 旋转的参考系 R\mathcal R 中时间导数的关系。对任意矢量 q⃗\vec q，

(dq⃗dt) ⁣I=(dq⃗dt) ⁣R+ω⃗×q⃗.\left(\frac{\mathrm d\vec q}{\mathrm dt}\right)_{\!\mathcal I} = \left(\frac{\mathrm d\vec q}{\mathrm dt}\right)_{\!\mathcal R} + \vec\omega\times\vec q.

ω⃗\vec\omega 是 R\mathcal R 相对 I\mathcal I 的瞬时角速度。矢量本身与参考系无关，但其分量与对时间求导的操作随参考系而变，科氏定理正是后者的变换法则。它是 会合坐标系、月固系、地球固系等所有旋转参考系中航天器运动方程的推导根基。

推导要点

设 R\mathcal R 的三个单位基矢量为 e^1,e^2,e^3\hat e_1, \hat e_2, \hat e_3，则 q⃗=q1e^1+q2e^2+q3e^3\vec q=q_1\hat e_1+q_2\hat e_2+q_3\hat e_3。在 I\mathcal I 中对 tt 求导：

(dq⃗dt) ⁣I=∑iq˙ie^i+∑iqi ⁣(de^idt) ⁣I.\left(\frac{\mathrm d\vec q}{\mathrm dt}\right)_{\!\mathcal I} = \sum_i \dot q_i\hat e_i + \sum_i q_i\!\left(\frac{\mathrm d\hat e_i}{\mathrm dt}\right)_{\!\mathcal I}.

第一项即 R\mathcal R 中的导数（e^i\hat e_i 在 R\mathcal R 中视为常量）；第二项中单位基矢在 I\mathcal I 中以 de^i/dt=ω⃗×e^i\mathrm d\hat e_i/\mathrm dt=\vec\omega\times\hat e_i 旋转。代回即得科氏定理。

两次应用：科氏加速度与离心加速度

把科氏定理用到位置矢量 r⃗\vec r（位于旋转系原点的物体相对该原点的位置），第一次得速度变换

v⃗I=v⃗R+ω⃗×r⃗,\vec v_I = \vec v_R + \vec\omega\times\vec r,

其中 v⃗I,v⃗R\vec v_I, \vec v_R 分别为 r⃗\vec r 在 I,R\mathcal I, \mathcal R 中的时间导数。再对 tt 求一次导数（注意 ω⃗\vec\omega 在 R\mathcal R 中可能也随时间变化），整理得加速度变换：

a⃗I=a⃗R+2 ω⃗×v⃗R+ω⃗˙×r⃗+ω⃗×(ω⃗×r⃗).\vec a_I = \vec a_R + 2\,\vec\omega\times\vec v_R + \dot{\vec\omega}\times\vec r + \vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r).

右侧三项分别称为：

  • 科氏加速度 2ω⃗×v⃗R2\vec\omega\times\vec v_R：仅在物体相对旋转系运动时出现，方向垂直于 v⃗R\vec v_R；
  • 欧拉加速度 ω⃗˙×r⃗\dot{\vec\omega}\times\vec r：仅在旋转系角速度变化时出现，对匀速旋转系为零；
  • 离心加速度 ω⃗×(ω⃗×r⃗)\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r)：始终指向旋转轴外，大小为 ω2ρ\omega^2\rho（ρ\rho 为到旋转轴的距离）。

在 CR3BP 会合系中的应用

圆型限制性三体问题 的标准推导正是科氏定理的直接应用（Szebehely 1967, §1.5；Vallado 2022, §1.5）。设在 会合坐标系 中，两主天体固定不动、整个坐标系以两主天体公转角速度 ω⃗=nz^\vec\omega=n\hat z 旋转。把牛顿引力 a⃗I=−μ1r⃗1/r13−μ2r⃗2/r23\vec a_I=-\mu_1\vec r_1/r_1^3-\mu_2\vec r_2/r_2^3 移到旋转系，得

r⃗¨+2ω⃗×r⃗˙+ω⃗×(ω⃗×r⃗)=−μ1r13r⃗1−μ2r23r⃗2,\ddot{\vec r}+2\vec\omega\times\dot{\vec r}+\vec\omega\times(\vec\omega\times\vec r) = -\frac{\mu_1}{r_1^3}\vec r_1-\frac{\mu_2}{r_2^3}\vec r_2,

或写为

r⃗¨=−∇Ω−2ω⃗×r⃗˙,Ω=μ1r1+μ2r2+12ω2(x2+y2).\ddot{\vec r} = -\nabla\Omega - 2\vec\omega\times\dot{\vec r},\qquad \Omega = \frac{\mu_1}{r_1}+\frac{\mu_2}{r_2}+\tfrac{1}{2}\omega^2(x^2+y^2).

把 Ω\Omega 写成两体引力势 + 离心势的统一标量函数后，运动方程右端的科氏项 −2ω⃗×r⃗˙-2\vec\omega\times\dot{\vec r} 是陀螺力（不做功、垂直于速度），由此可推出 雅可比积分 守恒。这就是会合系方程中科氏 + 离心两项的力学根源。

在体固系中的应用

月球软着陆、地球再入等任务需要在月固系或地固系（与天体同步旋转的参考系）中建立动力学方程。以月固系为例（周净扬、周荻 2007）：

V⃗I=V⃗L+ω⃗M×R⃗,\vec V_I = \vec V_L + \vec\omega_M\times\vec R,

其中 V⃗I\vec V_I 是惯性系速度、V⃗L\vec V_L 是月固系速度、ω⃗M\vec\omega_M 是月球自转角速度、R⃗\vec R 是位置矢量。对上式求导并应用科氏定理得含科氏加速度 2ω⃗M×V⃗L2\vec\omega_M\times\vec V_L 与离心加速度 ω⃗M×(ω⃗M×R⃗)\vec\omega_M\times(\vec\omega_M\times\vec R) 的相对运动方程，再加月球非球形引力、控制力等，就构成月球软着陆的精确动力学模型。这是工程级着陆制导律推导的基础。

常见误区

  • 科氏力做功吗？ 不做功。科氏项 2ω⃗×v⃗R2\vec\omega\times\vec v_R 始终垂直于 v⃗R\vec v_R，对能量积分无贡献；这也是 雅可比积分 之所以守恒的原因之一。
  • 科氏加速度是相对速度的代价吗？ 是。它是惯性系观察者看来相对运动的附加旋转，物体在旋转系里运动时，其径迹在惯性系里被旋转系拖着走，二者差异即科氏加速度。
  • 与科氏力口语用法的区分：日常经验中的科氏力（北半球河流冲刷右岸、傅科摆偏转等）是把加速度项乘上质量后当虚拟力看待的结果；严格地说它是运动学效应，不是物理力。
  • ω⃗\vec\omega 的参考系：科氏定理中的 ω⃗\vec\omega 是 R\mathcal R 相对 I\mathcal I 的角速度，不是物体相对 R\mathcal R 的角速度。

相关概念

参考文献

  • Szebehely, V. (1967). Theory of Orbits: The Restricted Problem of Three Bodies, §1.5. Academic Press.
  • Vallado, D. A. (2022). Fundamentals of Astrodynamics and Applications, 5th ed., §1.5 (rotating frames and the transport theorem).
  • Goldstein, H., Poole, C. P., & Safko, J. L. (2002). Classical Mechanics, 3rd ed., Chapter 4. Addison-Wesley.
  • 周净扬, 周荻 (2007). 月球探测器软着陆精确建模及最优轨道设计. 宇航学报.
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