拉格朗日型摄动方程（Lagrangian Perturbation Equations）

本文作者：天疆说
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定义

拉格朗日型摄动方程是以轨道根数为变量的受摄运动方程，由拉格朗日在研究行星摄动运动时首先建立。该方程将每个轨道根数的变化率表示为6个轨道根数和摄动势函数对每个轨道根数的偏导数的函数，只适用于保守摄动力（如地球非球形引力、日月引力）。

\left\{\begin{array}{l} \dot{a} = \frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial M} \\ \dot{e} = \frac{1-e^2}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial M} - \frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial\omega} \\ \dot{i} = \frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}(\cos i\frac{\partial R}{\partial\omega} - \frac{\partial R}{\partial\Omega}) \\ \dot{\Omega} = \frac{1}{na^2\sqrt{1-e^2}\sin i}\frac{\partial R}{\partial i} \\ \dot{\omega} = \frac{\sqrt{1-e^2}}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial e} - \cos i\frac{d\Omega}{dt} \\ \dot{M} = n - \frac{1-e^2}{na^2e}\frac{\partial R}{\partial e} - \frac{2}{na}\frac{\partial R}{\partial a} \end{array}\right.

轨道根数组	变化率依赖的偏导数
前三个： $\dot{a}$ 、 $\dot{e}$ 、 $\dot{i}$	仅与 $\partial R/\partial\Omega$ 、 $\partial R/\partial\omega$ 、 $\partial R/\partial M$ 有关
后三个： $\dot{\Omega}$ 、 $\dot{\omega}$ 、 $\dot{M}$	仅与 $\partial R/\partial a$ 、 $\partial R/\partial e$ 、 $\partial R/\partial i$ 有关

任一组轨道根数的变化率仅与势函数关于另一组轨道根数的偏导数有关，这一特性称为"对称性"。

从高斯型方程出发，利用 $\partial R/\partial\sigma$ 与摄动力分量 $f_r$ 、 $f_u$ 、 $f_h$ 之间的映射关系，通过逆变换推导得到。关键步骤是将摄动势函数对轨道根数的偏导数表示为摄动力分量的函数。

拉格朗日型摄动方程是分析保守摄动力（特别是地球非球形引力）对轨道影响的标准工具。通过将地球扁率摄动函数代入方程，可以推导出 $J_2$ 长期项对各轨道根数的影响规律，为太阳同步轨道、冻结轨道等特殊轨道的设计提供理论基础。