可观测性（Observability）

本文作者：天疆说
本文参考：钱霙婧(2014)《地月空间拟周期轨道上航天器自主导航与轨道保持研究》
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定义

可观测性（Observability）是系统论和控制理论中的核心概念，描述了系统内部状态可通过外部输出（观测）信息被确定的程度。在导航系统设计中，可观测性分析用于判断：给定一组传感器配置和观测信息，系统状态能否被唯一且准确地估计出来。

对于自主导航系统，可观测性分析是导航方案设计的关键步骤。不满足可观测性要求的导航系统将无法提供收敛的状态估计，即使采用最优的滤波算法也无济于事。

对于线性时不变系统：

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{A}\mathbf{x} + \mathbf{B}\mathbf{u}

\mathbf{y} = \mathbf{C}\mathbf{x} + \mathbf{D}\mathbf{u}

其可观测性矩阵（Observability Matrix）为：

\mathcal{O} = \begin{bmatrix} \mathbf{C} \\ \mathbf{C}\mathbf{A} \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^2 \\ \vdots \\ \mathbf{C}\mathbf{A}^{n-1} \end{bmatrix}

其中 $n$ 为状态维度。系统完全可观测的充要条件是 $\text{rank}(\mathcal{O}) = n$ 。

判据	条件	适用场景
秩判据	$\text{rank}(\mathcal{O}) = n$	一般线性系统
GRAM 判据	$\mathcal{O}^T\mathcal{O}$ 正定	连续系统
PBH 判据	$\text{rank}[s\mathbf{I}-\mathbf{A}, \mathbf{C}] = n, \forall s$	线性系统

对于非线性系统：

\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})

\mathbf{y} = h(\mathbf{x})

可采用局部弱可观测性（Locally Weakly Observable）判据。系统在某邻域内局部弱可观测当且仅当：

\text{rank}\left(\frac{\partial}{\partial \mathbf{x}} \mathcal{L}^k h(\mathbf{x})\right) = n, \forall k \geq 0, \forall \mathbf{x}

其中 $\mathcal{L}^k h$ 为 $h$ 的 $k$ 阶李导数。

在实际工程中，即使系统满足可观测性判据，状态估计的精度也可能因信息量不足而较差。可观测度（Degree of Observability）用于量化这种"可观测程度"：

\text{obs} = \frac{\sigma_{\min}}{\sigma_{\max}}

其中 $\sigma_{\min}$ 和 $\sigma_{\max}$ 分别为可观测性矩阵的最小和最大奇异值。可观测度越接近 1，表示各状态分量越容易被同等程度地估计；可观测度越接近 0，表示某些状态分量难以被估计。

可观测性分析用于优化敏感器配置。钱霙婧(2014)在研究日地月信息自主导航时，通过可观测性分析比较了三种敏感器配置方案：

分析结果表明，不同配置方案的可观测度存在显著差异，需要根据任务需求选择最优配置。

可观测性与采样弧长密切相关。较长的连续观测弧段通常提供更好的可观测性，但会增加计算负担和响应延迟。实际设计中需要在可观测性与系统实时性之间取得平衡。

可观测性分析结果直接影响滤波器设计：

Hermann R, Krener A J. Nonlinear controllability and observability[J]. IEEE Transactions on Automatic Control, 1977.
钱霙婧. 地月空间拟周期轨道上航天器自主导航与轨道保持研究[D]. 哈尔滨工业大学, 2014.