主动段弹道方程（Powered Phase Trajectory Equation）

本文作者：天疆说
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定义

主动段弹道方程（Trajectory Equation）是描述飞行器在发动机工作期间质心运动的微分方程组。弹道方程将推力、气动力、引力和控制力统一投影到选定坐标系中，通过数值积分求解飞行器的速度、位置和姿态随时间的变化规律。

弹道方程由以下几部分组成：

组成部分	内容	说明
动力学方程	牛顿第二定律在各轴的投影	核心方程
运动学方程	速度与位置的微分关系	$\dot{x} = v\cos\theta$ 等
控制方程	姿态控制指令	$\delta_\varphi = a_0^\varphi(\varphi - \varphi_{pr})$
补充方程	质量、高度、攻角等辅助计算	封闭方程组

在发射坐标系中，弹道方程包含 6 个动力学方程（质心 3 个 + 绕质心 3 个）以及运动学方程和补充方程。质心动力学方程为：

m\frac{d^2\mathbf{r}}{dt^2} = \mathbf{P} + \mathbf{R} + \mathbf{F}_c + m\mathbf{g} + \mathbf{F}_k'

投影到发射坐标系三轴后，得到可数值积分的标量方程组。

选择速度坐标系作为计算系，可将弹道方程分为纵向运动方程和侧向运动方程：

方程类型	主要参数	描述的运动
纵向运动方程	$v$ 、 $\theta$ 、 $x$ 、 $y$	射向平面内的运动
侧向运动方程	$\sigma$ 、 $z$	垂直于射向平面的运动

弹道方程积分至关机时刻 $t_k$ （燃料耗尽或指令关机），得到关机点参数 $(v_k, \theta_k, x_k, y_k)$ ，这些参数决定了后续被动段的运动轨迹。

弹道方程是飞行器设计和任务分析的核心工具。通过求解弹道方程，可以预测飞行轨迹、确定关机点参数、分析飞行性能。对于弹道导弹，关机点参数决定落点精度；对于运载火箭，关机点参数决定入轨精度。弹道方程也是弹道优化和制导算法设计的基础。