Lawden 弧定律（Lawden's Arc Law）

本文作者：天疆说
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定义

Lawden 1963 年的著作《Optimal Trajectories for Space Navigation》把连续推力最优轨迹按推力幅值特征划成三类弧段（arc），判据是切换函数 $S = \partial H/\partial F$ 的符号[295]。这一分类至今仍是推力优化理论的基础术语。

最大推力弧（Maximum-thrust arc, MT）： $S < 0$ ，发动机以 $F = F_{\max}$ 工作。
无推力弧（Null-thrust arc, NT）： $S > 0$ ，推力为零，航天器沿弹道滑行。
中间推力弧（Intermediate thrust arc, IT）： $S \equiv 0$ ，推力幅值不能由一级必要条件确定，需用 Legendre-Clebsch 二阶条件判断。最优控制理论中称为奇异弧（singular arc）。

切换函数把推力幅值推向约束边界的过程属于 Bang-bang 控制的内容，本词条只讲弧段的划分与含义。

判据的来处

切换函数来自庞特里亚金极值原理[390]：燃耗最优问题的哈密顿函数对推力幅值 $F \in [0, F_{\max}]$ 呈线性依赖，极小化哈密顿函数只能把 $F$ 推到区间端点。代入最优推力方向后，线性项的系数即切换函数

S = \frac{\partial H}{\partial F} = -\frac{\|\boldsymbol{\lambda}_v\|}{m} - \frac{\lambda_m}{g_0 I_{sp}}

其中 $\boldsymbol{\lambda}_v$ 为速度协态， $\lambda_m$ 为质量协态， $m$ 为航天器质量， $g_0 I_{sp}$ 为有效排气速度。

在无量纲推力比 $u = F/F_{\max} \in [0,1]$ 下，开关函数常写成[623]：

\rho = 1 - \frac{g_0 I_{sp} \|\boldsymbol{\lambda}_v\|}{m} - \lambda_m

$\rho > 0$ 对应 $u^* = 0$ （无推力弧）， $\rho < 0$ 对应 $u^* = 1$ （最大推力弧）， $\rho \equiv 0$ 对应中间推力弧。

三类弧的物理意义

Lawden 的三类弧分类不只是数学表述，每一类都对应任务剖面里的一段具体行为。

最大推力弧（MT）：发动机全开。出现在需要迅速改变轨道能量或角动量的弧段，如地球逃逸螺旋的推力段和月球捕获螺旋的减速段。在这些位置，单位推力的能量改变效率最高。
无推力弧（NT）：发动机关机滑行。出现在航天器穿越大范围地月空间时，以及切换函数预示当前不施加推力反而更优的弧段。滑行段利用引力场自然演化轨道，节省推进剂。
中间推力弧（IT，即奇异弧）：出现于二阶条件决定推力为中间值的特殊情形。在实践中极少遇到，通常意味着优化问题的某些对称性或简化假设在起作用。大多数实际求解中假定不存在奇异弧，以避开数值复杂性。

Lawden 弧定律（Lawden's Arc Law）

定义

判据的来处

三类弧的物理意义

Bang-coast-Bang 与 TCT 序列

奇异弧的二阶条件与数值处理

脉冲极限

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