直接配点法（Direct Collocation）

定义

直接配点法（Direct Collocation）是一类将最优控制问题（OCP）直接离散化为非线性规划问题（NLP）进行数值求解的方法[1]。与间接法（indirect method）需要解析推导共状态（costate）的一阶最优性条件不同，直接法通过配点（collocation）方式同时离散化状态和控制变量，将无限维连续最优控制问题转化为有限维的 NLP，是当前航天器轨迹优化领域最广泛使用的数值方法之一。

基本原理

离散化策略

在直接配点法中，转移区间 $[0, t_f]$ 被划分为 $N$ 个子区间，在每个子区间的配点处同时满足：

1. 状态动力学约束：在配点处强制执行 $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}, \mathbf{u})$
2. 边界条件：初态 $\mathbf{x}(0) = \mathbf{x}_0$ 和终端约束 $\mathbf{x}(t_f) \in \mathcal{T}$
3. 路径约束：控制约束 $\|\mathbf{u}\| \leq 1$、避免障碍约束等

Hermite-Simpson 配点

A2PPO 研究中采用的直接配点实现使用 Hermite-Simpson 配点格式[2]：

• 在每个子区间 $[t_i, t_{i+1}]$ 上，用三次 Hermite 多项式插值状态
• 在区间中点 $t_{i+1/2}$ 处施加动力学缺陷约束（defect constraint）
• 配点处状态精度为三阶，缺陷约束精度为三阶

与 A2PPO 的对比

Ul Haq 等人（2026）将 A2PPO 策略产生的轨迹作为直接配点法的初始猜测，验证了两者在四个场景中的一致性[2]：

直接配点法由于利用了完整的连续最优性条件，通常能达到更优的燃料效率，但：

• 需要良好的初始猜测（A2PPO 提供了高质量初始解）
• 计算成本高，每次转移需重新求解
• 无法实时在线计算

A2PPO 则可在训练后实时推理，提供近即时的轨迹解。

直接法 vs 间接法

NLP 求解器

直接配点法离散化后的 NLP 通常使用序列二次规划（SQP）或内点法求解器：

• Ipopt：基于内点法的大规模非线性规划求解器
• SNOPT：序列二次规划求解器
• CasADi：符号计算框架，便于构建 NLP 并调用上述求解器

参考文献

• [1] Betts J T. Survey of numerical methods for trajectory optimization[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998.
• [2] Ul Haq I U, Dai H, Du C. Autonomous low-thrust trajectory optimization in cislunar space via attention-augmented reinforcement learning[J]. Aerospace Science and Technology, 2026.
• [3] Hargraves C R, Paris S W. Direct trajectory optimization using nonlinear programming and collocation[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1987.