低推力增强圆形限制性三体问题（CR3BP-LT）

CR3BP with Low-Thrust (CR3BP-LT)

定义

CR3BP-LT 是标准圆形限制性三体问题（Circular Restricted Three-Body Problem, CR3BP）的扩展，通过在 spacecraft 的运动方程中加入连续低推力加速度项，用以研究电推进、离子推进等低推力推进系统的轨道转移问题[1]。该模型由 Ul Haq 等人在 2026 年的 A2PPO 研究中正式提出并系统应用。

动力学方程

在归一化会合坐标系下，CR3BP-LT 的运动方程为：

\begin{cases} \ddot{x} = -\left[(1-\mu)\frac{x+\mu}{r_1^3} + \mu\frac{x-(1-\mu)}{r_2^3}\right] + 2\dot{y} + x + \frac{\tilde{T}_{\max}}{\tilde{m}} u_x \\[0.8em] \ddot{y} = -\left[(1-\mu)\frac{y}{r_1^3} + \mu\frac{y}{r_2^3}\right] - 2\dot{x} + y + \frac{\tilde{T}_{\max}}{\tilde{m}} u_y \\[0.8em] \ddot{z} = -\left[(1-\mu)\frac{z}{r_1^3} + \mu\frac{z}{r_2^3}\right] + \frac{\tilde{T}_{\max}}{\tilde{m}} u_z \end{cases}

其中 $r_1 = \sqrt{(x+\mu)^2 + y^2 + z^2}$ 、 $r_2 = \sqrt{(x-1+\mu)^2 + y^2 + z^2}$ 分别为 spacecraft 到地球和月球的距离， $-2\dot{y}$ 、 $+2\dot{x}$ 为 Coriolis 力项， $u = (u_x, u_y, u_z)$ 为无量纲推力控制向量，满足 $\|u\| \leq 1$ 。

质量演化服从齐奥尔科夫斯基火箭方程：

\dot{\tilde{m}} = -\frac{\tilde{T}_{\max}}{\tilde{c}} \|u\|

其中 $\tilde{c} = I_{sp} g_0 T^*/L^*$ 为无量纲排气速度。

关键参数

CR3BP-LT 的特征归一化参数：

参数	符号	地月系统值
质量比	$\mu$	0.01215
特征长度	$L^*$	$3.844 \times 10^8$ m
特征时间	$T^*$	375,132 s
特征加速度	$g_0$	9.80665 m/s²

CR3BP-LT 与标准 CR3BP 的区别

特性	标准 CR3BP	CR3BP-LT
能量守恒	Jacobi 常数守恒	连续低推力打破守恒
动力学	可积（保守系统）	非守恒、高度非线性
轨道特性	周期/拟周期轨道	转移轨迹可自由设计
计算难度	较低	较高（需积分质量方程）

CR3BP-LT 模型在无推力（ $\tilde{T}_{\max} = 0$ ）时退化为标准 CR3BP，此时 Jacobi 常数重新守恒。

在轨迹优化中的应用

CR3BP-LT 模型是 A2PPO 等深度强化学习方法用于低推力轨迹优化的核心环境。该模型：

保留了三体动力学的本质复杂性——混沌特性、流形结构、能量变化等
引入了连续推力控制——通过无量纲推力向量 $u$ 实现连续加速/减速
保持了计算可负担性——相比高保真 Ephemeris 模型，CR3BP-LT 可支持大规模 RL 训练所需的百万次积分

参考文献

[1] Ul Haq I U, Dai H, Du C. Autonomous low-thrust trajectory optimization in cislunar space via attention-augmented reinforcement learning[J]. Aerospace Science and Technology, 2026.
[2] Du C, Song L, Zhang J, et al. A novel calculation method for low-thrust transfer trajectories in the Earth-Moon restricted three-body problem[J]. Aerospace Science and Technology, 2024.