作用角变量

本文作者：天疆说
本文编辑来源：Qiao et al. (2025) "Orbital parameter characterization and objects cataloging for Earth-Moon collinear libration points"
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定义

作用角变量（Action-Angle Variables）是分析可积哈密顿系统的标准工具，由一对共轭变量 $(I, \theta)$ 组成：

作用量（Action） $I$ ：沿闭合轨道的积分常数，描述轨道的"大小"
角变量（Angle） $\theta$ ：沿轨道的周期运动相位，线性增长

对于一维可积哈密顿系统，作用角变量的引入使得哈密顿量仅依赖于作用量 $H = H(I)$ ，角变量的共轭方程给出常值角速度 $\dot{\theta} = \partial H / \partial I$ 。

在 Hamilton 系统中的意义

作用角变量是正则坐标 $(q, p)$ 通过正则变换 $(q, p) \to (I, \theta)$ 得到的新正则变量，变换的母函数为型如 $S(q, \theta)$ 的生成函数。作用量的定义为：

I = \frac{1}{2\pi}\oint p \, dq

积分沿闭合轨道一周。在角变量 $\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$ 变化一周的过程中，作用量 $I$ 保持不变。

引入作用角变量后，可积 Hamiltonian 系统的相空间几何变得极为清晰： $I$ 描述不变环面（invariant torus）的截面半径， $\theta$ 描述轨道在环面上的转动相位。

在平动点线性化动力学中的定义

CR3BP 共线平动点的线性化哈密顿量经 Birkhoff-Gustavson 标准型化后，具有鞍×中心×中心结构。对中心模，Qiao et al. (2025) 采用如下作用角变量定义：

中心模（center mode）：

I_c = \frac{1}{2}(q^2 + p^2), \quad \theta_c = \arctan\left(\frac{q}{p}\right)

鞍模（saddle mode）：

I_s = qp, \quad \theta_s = \ln\frac{\sqrt{q}}{\sqrt{p}}

其中下标 $c$ 表示中心运动模式， $s$ 表示鞍/双曲运动模式。

在轨道特征参数中的应用

Qiao et al. (2025) 最终选取六维特征参数为：

参数	类型	定义	物理意义
$q_1$	鞍方向坐标	直接保留（不经作用角变换）	沿不稳定流形进入程度
$p_1$	鞍方向动量	直接保留（不经作用角变换）	沿稳定流形进入程度
$I_2$	中心作用量1	$I_2 = \frac{1}{2}(q_2^2 + p_2^2)$	$XY$ 平面内运动振幅
$\theta_2$	中心角量1	$\theta_2 = \arctan(q_2/p_2)$	$XY$ 平面内相位
$I_3$	中心作用量2	$I_3 = \frac{1}{2}(q_3^2 + p_3^2)$	$Z$ 方向运动振幅
$\theta_3$	中心角量2	$\theta_3 = \arctan(q_3/p_3)$	$Z$ 方向相位

为何不将 $q_1, p_1$ 转为作用角形式？

Qiao et al. (2025) 指出两点理由：

鞍的角变量定义涉及复变量，物理含义抽象，不便实际应用
$q_1, p_1$ 本身的数值即能充分描述航天器进入不稳定/稳定流形的程度（ $q_1$ 指数增长表示沿不稳定流形远离， $p_1$ 指数衰减至零表示沿稳定流形趋近）

中心流形上的运动方程

引入作用角变量后，中心流形哈密顿量为：

H_{CM} = H_2(I_2, I_3) + H_N(I_2, I_3, \theta_2, \theta_3)

由此得到正则方程：

作用量变化： $\dot{I}_j = \{I_j, H_{CM}\} = \{I_j, H_N\}$ （仅高阶项贡献）
角速度： $\dot{\theta}_j = \{\theta_j, H_{CM}\} = \omega_j + \{\theta_j, H_N\}$ （线性部分 + 高阶微扰）

这表明在作用角变量下，中心流形上的运动具有清晰的可积结构（线性部分）+ 微扰修正。

参考文献

Arnol'd V I. Mathematical methods of classical mechanics[M]. Springer, 1989.
Peterson L T, Scheeres D J. Local orbital elements for the circular restricted three-body problem[J]. J Guid Control Dyn, 2023, 46(12): 2275-2289.
Qiao C, Long X, Yang L, et al. Orbital parameter characterization and objects cataloging for Earth-Moon collinear libration points[J]. Chinese Journal of Aeronautics, 2025. doi: 10.1016/j.cja.2025.103869.