本文作者：天疆说
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多圈 NRHO 星历模型计算

问题背景

在 CR3BP 模型中，单圈 NRHO 可通过延续法或微分修正直接计算（参见设计参数）。但在真实星历模型（如 JPL DE430）下计算多圈 NRHO 时，直接对整条轨道进行微分修正往往会失败——线性化误差随飞行时间累积，尤其是低近月点半径的 NRHO 在近月点附近状态变化剧烈，导致修正过程发散。

现有方法（如 Williams 等人的前向/后向打靶、Davis 等人的两级修正）虽能生成高保真多圈 NRHO，但依赖 SNOPT 或 NASA Copernicus 等专用优化软件，可复现性受限。

多次打靶法

多次打靶法（Multiple Shooting）是解决长弧段轨道计算收敛困难的标准方法，核心步骤为：

将 CR3BP 模型下的初始轨道按时间分为 $n-1$ 段（segments）
在星历模型下对每段分别前向积分
在相邻段的连接点（patch points）施加状态连续性约束
通过 Newton-Raphson 最小二乘迭代修正各连接点状态

约束方程为：

F(\mathbf{X}) = \begin{bmatrix} X_1(t_2) \\ X_2(t_3) \\ \vdots \\ X_{n-1}(t_n) \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} X_2 \\ X_3 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix} = 0

其中 $X_i(t_{i+1})$ 为从第 $i$ 个连接点前向积分至 $t_{i+1}$ 的状态， $X_{i+1}$ 为第 $i+1$ 个连接点的初始状态。迭代修正公式中涉及状态转移矩阵 $\Phi(t_i, t_{i-1})$ 构成的雅可比矩阵。

连接点选取策略

Liu & Liu (2025) 的核心贡献在于揭示了连接点位置对计算成败的关键影响，并提出了系统性的选取策略。

条件数分析

状态转移矩阵 $\Phi(t_i, t_{i-1})$ 的条件数 $C$ 取决于弧段长度和起始点位置。当起始点靠近近月点时， $C$ 急剧增大（可达数个量级），导致约束方程组病态，Newton-Raphson 修正过冲而发散。因此，弧段端点必须远离近月点。

相对距离参数 $s$

定义相对 x 方向距离 $s$ 量化首末连接点与月球的距离：

s = \begin{cases} \dfrac{x_R - x_1}{x_R - x_L}, & \text{L1 情形} \\[6pt] \dfrac{x_1 - x_L}{x_R - x_L}, & \text{L2 情形} \end{cases}

其中 $x_L$ 、 $x_R$ 分别为 NRHO 与 xz 平面左右交点的 x 坐标， $x_1$ 为首末连接点的 x 坐标。 $s = 0$ 对应近月点位置， $s = 1$ 对应远月点位置。

每圈轨道分成 $N$ 段：首末两个连接点关于 xz 平面对称放置（使近月点恰好处于首末段中间），其余连接点按等时间间隔分布。关键结论：

当 $N = 2$ 时， $s$ 应大于 0.4
当 $N \geq 4$ 时， $s$ 可降低至 0.2 以下
段数越多，连接点可越靠近月球；近月点半径较大的 NRHO 需更大的 $s$ 值

计算结果

采用 JPL DE430 星历，初始历元取 2025 年 1 月 1 日，主要结果如下：

轨道族	有效范围	最少段数 $N$	可达圈数
L1 NRHO	近月点半径 < 12,000 km	2（推荐 4）	30+
L2 NRHO	周期 < 8.8 天	2（推荐 4）	30+

L1 NRHO 的有效周期范围约为 7.88–10 天，L2 NRHO 的对应近月点半径为 1,850–11,000 km。近月点半径较大的 L1 NRHO（> 12,000 km）或周期较长的 L2 NRHO（> 8.8 天）仅能计算 10–20 圈，轨道在会合坐标系中呈现松散的漂移模式。对于 30 圈可达的情况，圈数可进一步扩展至 100 甚至 500 圈。

方法特点

不依赖专用优化软件（SNOPT、Copernicus 等），仅使用经典多次打靶与微分修正
实现门槛低，便于一般用户复现
对低近月点半径的 NRHO（Gateway 等任务关注的范围）效果最为显著

参考文献

[1] Liu L, Liu Y. A note on the computation of multi-revolution NRHO under the ephemeris model[J]. Advances in Space Research, 2025.

仿真实验

可在卫星轨道仿真实验室中设置 NRHO 初始条件，在真实星历模型下观察多圈轨道的演化行为。