打靶法

本文作者：天疆说

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定义

打靶法（Shooting Method）是一种将两点边值问题（Two-Point Boundary Value Problem, TPBVP）转化为初值问题进行迭代求解的数值方法。其核心思想是：通过猜测初始状态，积分至终点约束条件，计算偏差后修正初始猜测，反复迭代直至收敛。

原理

在轨道设计中，打靶法常用于求解周期轨道。以晕轨道（Halo Orbit）为例，其求解步骤如下：

1. 在某个参考流形（如 $xOz$ 平面）上选取初始猜测状态 $\mathbf{x}_0 = (x_0, 0, z_0, 0, \dot{y}_0, 0)$
2. 积分轨道至周期约束截面（如 $xOz$ 平面再次穿越点）
3. 计算状态偏差 $\Delta \mathbf{x}_f = \mathbf{x}_f - \mathbf{x}_0$
4. 利用状态转移矩阵（State Transition Matrix, STM）$\mathbf{\Phi}$ 线性化：$\Delta \mathbf{x}_f = \mathbf{\Phi} \cdot \Delta \mathbf{x}_0$
5. 修正初始猜测，迭代直至满足周期条件

偏差校正

打靶法中关键是选择自由变量（shooting variables）和目标函数（targeting equations）。对于 Halo 轨道，通常选择 $z_0$ 和 $\dot{y}_0$ 作为自由变量，目标函数为在截面处的 $y=0$ 和 $z=0$ 偏差。

在地月空间中的应用

打靶法在地月空间轨道设计中应用广泛：

• NRHO 初始条件生成：Zimovan (2017) 系统总结了地月 L1/L2 NRHO 的单次打靶与多步打靶求解策略
• DRO 轨道生成：利用关于 $x$ 轴的对称性，只在 $x$ 轴上选取初始点，以 $\dot{y}_0$ 和周期 $T$ 为自由变量进行迭代
• Halo 轨道族延续：从已知的平面 Lyapunov 轨道出发，通过弧长延续法逐步增大 $A_z$ 振幅，每步配合打靶法求解

打靶法通常需要与弧长延续法（Arc-length Continuation）和微分修正（Differential Correction）配合使用，以提高收敛性和全局性。

相关概念

• 弧长延续法（Arc-length Continuation）
• 辛积分器（Symplectic Integrator）
• 远距离逆行轨道（DRO）
• 近直线晕轨道（NRHO）
• 圆形限制性三体问题（CR3BP）

参考文献

• Zimovan E M. Characteristics and design strategies for near rectilinear halo orbits within the Earth-Moon system[D]. Purdue University, 2017.
• Liu X, Baoyin H, Ma X. Design of optimal lunar landing trajectories with plane change[J]. Advances in Space Research, 2022.