最优控制理论

本文作者：天疆说
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定义

最优控制理论（Optimal Control）是现代控制理论的重要分支，研究如何对给定动态系统选择控制律，使得预定的性能指标达到极值（最小或最大）。在航天任务中，性能指标通常为燃料消耗、时间、能量等。

基本要素

最优控制问题由以下要素定义：

状态方程： $\dot{\mathbf{x}} = f(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t)$ ，描述系统动态特性
控制变量： $\mathbf{u}(t)$ ，由控制器设计
边界条件：初始状态 $\mathbf{x}(t_0)$ 和终端状态 $\mathbf{x}(t_f)$
性能指标： $J = \phi(\mathbf{x}(t_f), t_f) + \int_{t_0}^{t_f} L(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t) dt$
约束条件：控制约束 $|\mathbf{u}| \leq u_{\max}$ ，状态约束 $\mathbf{x} \in \mathcal{X}$

原理

变分法与欧拉-拉格朗日方程

无约束最优控制的必要条件通过变分法推导。引入拉格朗日乘子 $\boldsymbol{\lambda}(t)$ ，构造哈密尔顿函数：

H(\mathbf{x}, \mathbf{u}, \boldsymbol{\lambda}, t) = L(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t) + \boldsymbol{\lambda}^T f(\mathbf{x}, \mathbf{u}, t)

欧拉-拉格朗日方程给出状态和协状态的演化方程：

\dot{\mathbf{x}} = \frac{\partial H}{\partial \boldsymbol{\lambda}}, \quad \dot{\boldsymbol{\lambda}} = -\frac{\partial H}{\partial \mathbf{x}}

极大值原理（Pontryagin Maximum Principle）

对于带控制约束的最优控制问题，极大值原理给出控制变量的最优性条件：

\mathbf{u}^*(t) = \arg\max_{\mathbf{u} \in \mathcal{U}} H(\mathbf{x}^*, \mathbf{u}, \boldsymbol{\lambda}^*, t)

该原理将连续优化问题转化为在每时刻选择最优控制的问题。

在地月空间中的应用

最小燃料轨道转移：在地月空间中使用庞特里亚金极大值原理推导低推力最优转移轨道，产生燃料最省的双尔塔-V 最优轨迹
低推力轨迹优化：离子推进、电推进等低推力推进器的轨迹设计，本质上是最优控制问题，常用间接法（极大值原理）或直接法（伪谱法）求解
软着陆制导：月球/火星着陆的燃料最优下降轨迹设计，约束项包括推力大小、推力方向、终端高度和速度
姿态机动优化：航天器大角度姿态机动过程中的时间-燃料双目标优化

相关概念

参考文献

Bryson A E, Ho Y C. Applied optimal control[M]. Taylor & Francis, 1975.
Betts J T. Survey of numerical methods for trajectory optimization[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1998.