不稳定流形（Unstable Manifold）

本文作者：天疆说

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定义

不稳定流形（Unstable Manifold）是共线平动点（拉格朗日点）附近不变流形的一种类型。对于平动点附近的周期轨道（如 Lyapunov 轨道或晕轨道）上的任意一点，沿此流形演化的轨迹将渐近远离该周期轨道。

不稳定流形的动力学特征为：航天器在不稳定流形上运行时，将在系统自身动力学的作用下从周期轨道向外发散。这一特性使得不稳定流形成为设计从平动点轨道出发的转移轨道的天然通道，可实现零燃料消耗的轨道转移。

与稳定流形的关系

不稳定流形和稳定流形是共线平动点附近不变流形的两种互补类型：

两类流形的交汇构成平动点附近完整的相空间拓扑结构。

不变流管结构

在系统 Jacobi 常数值较大的条件下，不稳定流形在空间中能够形成管状通道，称为不稳定流管（Unstable Manifold Tube）。

不稳定流管从平动点附近的周期轨道向外发散，不同 Jacobi 常数和轨道幅值对应的不稳定流管延伸至不同区域——可能流向地球、月球或逃逸出地月系统。

在低能转移中的应用

离开平动点轨道的转移段

不稳定流形在地月低能转移轨道设计中的核心应用是实现平动点轨道到目标天体的无动力连接：

1. 航天器在平动点附近的周期轨道或拟周期轨道上完成科学探测任务
2. 在适当时机切换到不稳定流形上
3. 航天器在不稳定流形上不消耗能量地从周期轨道发散
4. 最终到达月球停泊轨道或返回地球

零消耗返回轨道

利用不稳定流形可设计零消耗返回地球的转移轨道：航天器从平动点轨道出发，沿流向地球方向的不稳定流形无动力演化，最终自然进入地球附近的空间区域。

双脉冲转移轨道

在实际任务中，纯粹的零消耗轨道飞行时间过长。工程上通常采用双脉冲方案：

1. 第一次脉冲：将航天器从周期轨道送入不稳定流形
2. 沿不稳定流形无动力滑行
3. 第二次脉冲：在到达目标轨道附近时进行轨道修正入轨

这种方法利用了不稳定流形的低能耗特性，同时通过有限的脉冲控制转移时间。

与稳定流形的联合使用

完整的地月低能转移轨道通常由稳定流形和不稳定流形两段拼接而成：

1. 沿稳定流形从地球出发，无动力逼近 $L_1$ 点周期轨道
2. 在 $L_1$ 点附近过渡到不稳定流形
3. 沿不稳定流形无动力流向月球

这种"稳定-不稳定"流形拼接方案是"星际高速公路"（Interplanetary Superhighway）的核心机制。

混沌控制中的应用

不稳定流形在混沌控制的 OGY 方法中扮演关键角色：

1. 利用混沌运动的遍历性，等待轨迹自然演化到目标不稳定周期轨道附近
2. 计算目标轨道的稳定流形方向
3. 施加微小扰动将轨迹置于稳定流形上
4. 轨迹在系统自身动力学作用下趋向目标轨道

这里，不稳定周期轨道的不稳定流形决定了轨迹偏离目标轨道的速度，而稳定流形提供了收敛路径。

相关概念

• 不变流形
• 稳定流形
• 平动点（拉格朗日点）
• Lyapunov 轨道
• 晕轨道
• 低能转移轨道
• 圆形限制性三体问题（CR3BP）
• 混沌控制
• 弱稳定边界

参考文献

• Conley C C. Low energy transit orbits in the restricted three-body problem[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1968, 16(4): 732-746.
• Koon W S, Lo M W, Marsden J E, et al. Dynamical systems, the Three-Body Problem and space mission design[M]. 2000.
• Gómez G, Koon W S, Lo M W, et al. Invariant manifolds, the spatial three-body problem and space mission design[J]. Advances in the Astronautical Sciences, 2001.
• 李言俊, 张科, 吕梅柏, 张汉清. 利用拉格朗日点的深空探测技术[M]. 西北工业大学出版社.