拟周期轨道（Quasi-periodic Orbit）

本文作者：天疆说

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定义

拟周期轨道（Quasi-periodic Orbit）是圆形限制性三体问题（CR3BP）中一类介于严格周期轨道和混沌轨道之间的轨道运动。其特征是轨道由两个（或多个）不可公度的基本频率叠加而成，运动轨迹在相空间中稠密地填充在环面上，但永不精确重复。

从中心流形的角度看，拟周期轨道是中心流形上除 Lyapunov 轨道等严格周期解以外的一般运动形态。当中心流形哈密尔顿量中存在不可公度的频率分量时，轨道即呈现拟周期特性。

与周期轨道的区别

Lissajous 轨道

Lissajous 轨道是共线平动点附近最典型的拟周期轨道，其面内和面外振荡频率不可公度，投影到各坐标平面上呈现类 Lissajous 图形。

与晕轨道相比，Lissajous 轨道的优势在于：

• 不要求面内和面外频率满足精确的共振关系
• 初始条件的选择范围更广
• 可以覆盖更大范围的相空间区域

当面内和面外频率逐渐趋近于共振比时，Lissajous 轨道过渡为晕轨道。

数值计算方法

拟周期轨道的数值计算比周期轨道更加复杂，因为无法仅通过对称性条件进行打靶。主要方法包括：

基于中心流形的方法

1. 将系统化简到中心流形，得到约化哈密尔顿量
2. 在二维中心流形上选取初始条件
3. 通过逆坐标变换回到全空间
4. 数值积分验证轨道特性

Lindstedt-Poincaré 方法

通过将轨道解展开为多频率 Fourier 级数，利用 Lindstedt-Poincaré 摄动方法逐阶求解系数。该方法可系统地构造不同振幅和频率组合的拟周期轨道。

在任务设计中的应用

不变流形结构

拟周期轨道同样存在不变流形结构，但其不变流形比周期轨道的更为复杂。利用拟周期轨道的不变流形，可以设计考虑轨道倾角因素的转移轨道。

轨道遮挡问题

Lissajous 轨道在运动过程中可能与天体（如月球）发生遮挡，影响通信和观测。任务设计中需要分析轨道的遮挡特性，选取满足任务约束的轨道参数。

基于投影的稳定保持

将动力学中心流形结构引入轨道控制方法设计中，可以得到基于投影到中心流形的稳定保持方法：

1. 将航天器实时状态投影到中心流形
2. 在二维中心流形上计算最优控制量
3. 映射回全空间执行

该方法可在显著降低燃料消耗的基础上达到良好的稳定保持效果。

相关概念

• 中心流形
• 圆形限制性三体问题（CR3BP）
• 平动点（拉格朗日点）
• Lyapunov 轨道
• 晕轨道
• 不变流形
• 低能转移轨道

参考文献

• 李言俊, 张科, 吕梅柏, 张汉清. 利用拉格朗日点的深空探测技术[M]. 西北工业大学出版社.
• Gómez G, Llibre J, Martínez R, et al. Dynamics and Mission Design Near Libration Points, Vol. I: Fundamentals[M]. World Scientific, 2001.
• Jorba A. A methodology for the numerical computation of normal forms, centre manifolds and first integrals of Hamiltonian systems[J]. Experimental Mathematics, 1999, 8(2): 155-195.
• 郑越. 地月三体系统低能转移轨道设计与控制[D]. 西北工业大学, 2019.