Lyapunov 轨道

本文作者：天疆说

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定义

Lyapunov 轨道是共线平动点附近的一类平面周期轨道，位于两个主天体的运动平面内（$z = 0$）。该轨道族以俄国数学家 Aleksandr Lyapunov 命名，是研究平动点附近动力学特性最基本的周期轨道类型。

在圆形限制性三体问题（CR3BP）中，共线平动点附近的线性化运动方程包含一对实根（对应鞍点型不稳定方向）和一对纯虚根（对应中心型振荡方向）。Lyapunov 轨道正是由中心方向的振荡产生的周期解，其幅值可从无穷小逐渐增大。

与 Halo 轨道的关系

Lyapunov 轨道和 Halo 轨道是共线平动点附近两类最重要的周期轨道：

当 Halo 轨道的 $z$ 方向振幅增大到极端情况时，轨道形态演变为近直线的往复运动，即 NRHO。

幅值的影响

Lyapunov 轨道族由幅值参数连续参数化。幅值的变化对轨道特性和应用价值有显著影响：

小幅值轨道

• 轨道靠近平动点，近似线性振荡
• 不变流形能够形成规则的不变流管
• 适合研究平动点附近的基本动力学特性

大幅值轨道

• 轨道远离平动点，向地球或月球方向延伸
• 不变流形分布范围广，能够到达近地或近月轨道
• 大幅值 Lyapunov 轨道可与月球停泊轨道相切，为地月转移提供直接通道
• 当幅值增大到一定程度时，不变流管结构开始退化

计算方法

Lyapunov 轨道的数值计算通常采用以下步骤：

1. 线性化求解：在平动点附近对动力学方程进行线性化，得到近似周期解
2. 微分修正（打靶法）：利用对称性条件（轨道穿越 $x$ 轴时 $y = 0$、$\dot{x} = 0$），通过迭代修正初始状态，收敛至精确周期轨道
3. 延拓法（Continuation）：从小幅值解出发，逐步增大幅值参数，追踪整个轨道族

在轨道幅值增大的过程中，可能出现分岔现象——一个轨道族分支为多个轨道族。轨道族的分岔结构对理解平动点附近的相空间拓扑至关重要。

在地月低能转移中的应用

基于大幅值 Lyapunov 轨道的转移

郑越（2019）提出了一种基于大幅值 $L_1$ 点 Lyapunov 轨道的地月转移方法：

1. 选取与月球停泊轨道相切的大幅值 Lyapunov 轨道作为参考轨道
2. 利用 Lyapunov 轨道流向地球方向的稳定流形直接连接地球停泊轨道
3. Lyapunov 轨道本身与月球停泊轨道相切，省去了不稳定流形与月球轨道之间的拼接

这种方法通过大幅值 Lyapunov 轨道的稳定流形实现了地球停泊轨道到月球停泊轨道的直接连接。

同宿连接与地月循环轨道

$L_1$ 点 Lyapunov 轨道的同宿连接（homoclinic connection）理论可以应用于低能循环轨道的计算。通过分析流向地球和月球方向的不变流管在庞加莱截面上的投影区域，可以得到 Lyapunov 轨道的同宿连接，进而推导出低能循环轨道的类型。

相关概念

• 圆形限制性三体问题（CR3BP）
• 平动点（拉格朗日点）
• 不变流形
• 近直线晕轨道（NRHO）
• 地月低能转移轨道
• 地月循环轨道
• Halo 轨道

参考文献

• 郑越. 地月三体系统低能转移轨道设计与控制[D]. 西北工业大学, 2019.
• Richardson D L. Analytic construction of periodic orbits about the collinear points[J]. Celestial Mechanics, 1980, 22(3): 241-253.
• Gómez G, Llibre J, Martínez R, et al. Dynamics and Mission Design Near Libration Points, Vol. I: Fundamentals[M]. World Scientific, 2001.
• Mingotti G, Topputo F, Bernelli-Zazzera F. Low-energy, low-thrust transfers to the Moon[J]. Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 2009.