平动点（拉格朗日点）

本文作者：天疆说

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定义

平动点（Libration Points），又称拉格朗日点（Lagrange Points），是圆形限制性三体问题（CR3BP）中五个特殊的平衡位置。在这些位置上，质量可忽略的小天体（如航天器）在两个主天体的引力和旋转坐标系中的离心力共同作用下，可以与两个主天体保持相对静止的构型。

1687 年，牛顿首先在二体系统中发现了类似的平衡位置。1767 年和 1772 年，Euler 和 Lagrange 先后在限制性三体问题中系统研究了这五个平衡点，其中 Euler 发现了三个共线平动点，Lagrange 补充了两个三角平动点。

五个平动点的分布

五个平动点按发现者的姓氏首字母排列为 $L_1$、$L_2$、$L_3$、$L_4$、$L_5$：

共线平动点（3 个）：位于两个主天体的连线上

• $L_1$ 点：位于地球和月球之间
• $L_2$ 点：位于月球背向地球的一侧
• $L_3$ 点：位于地球背向月球的一侧

三角平动点（2 个）：与两个主天体构成等边三角形

• $L_4$ 点：位于月球公转轨道前方，与地月构成等边三角形
• $L_5$ 点：位于月球公转轨道后方，与地月构成等边三角形

动力学特征

平动点的动力学特征取决于其位置附近的线性化运动方程的特征值结构：

共线平动点的鞍点特性使得其附近存在丰富的动力学结构——周期轨道、不变流形和穿越轨道——这些结构为地月低能转移提供了理论基础。

在深空探测中的应用

$L_1$ 点的应用

• 地月低能转移通道：$L_1$ 点是地球和月球之间的"瓶颈区"，其附近的不变流形为探测器提供了低能耗转移通道
• 太阳观测：日地 $L_1$ 点是放置太阳观测卫星的理想位置（如 SOHO 卫星）

$L_2$ 点的应用

• 通信中继：我国嫦娥四号中继星"鹊桥"运行于地月 $L_2$ 点附近的 Halo 轨道，为月球背面探测提供通信中继
• 空间望远镜：日地 $L_2$ 点是放置深空望远镜的理想位置（如 James Webb 空间望远镜）
• "门户"空间站：NASA 计划将 Gateway 空间站部署于地月 $L_2$ 点附近的 NRHO

$L_4$、$L_5$ 点的应用

• 三角平动点附近的特洛伊型轨道可用于物资储备和态势感知
• 日地系统的 $L_4$、$L_5$ 点可能存在天然的尘埃聚集（Kordylewski 云）

与低能转移的关系

共线平动点 $L_1$ 和 $L_2$ 是地月低能转移的核心动力学节点：

• 通过 $L_1$ 点的转移为内俘获型，轨道始终处于地月系统内
• 通过 $L_2$ 点的转移为外俘获型，需要考虑太阳引力影响
• Conley（1965 年）将平动点附近的运动形态归纳为四类：周期轨道、不变流形、穿越轨道和非穿越轨道

当 Jacobi 常数使零速度曲线恰好在平动点处打开通道时，探测器可在理论上不消耗额外能量通过平动点实现地月间的转移。

相关概念

• 圆形限制性三体问题（CR3BP）
• 不变流形
• Lyapunov 轨道
• 近直线晕轨道（NRHO）
• 远距离逆行轨道（DRO）
• 地月低能转移轨道

参考文献

• 郑越. 地月三体系统低能转移轨道设计与控制[D]. 西北工业大学, 2019.
• Conley C C. Low energy transit orbits in the restricted three-body problem[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1968, 16(4): 732-746.
• Koon W S, Lo M W, Marsden J E, et al. Dynamical systems, the Three-Body Problem and space mission design[M]. 2000.
• Gómez G, Masdemont J, Simó C. Quasihalo orbits associated with libration points[J]. Journal of the Astronautical Sciences, 1998, 46(2): 135-176.