不变流形（Invariant Manifold）
本文作者：天疆说
定义
不变流形是与不稳定周期轨道密切相关的一种动力学结构。对于共线平动点附近的周期轨道上的任意一点，都可以演化出四条不变流形：两组方向分别为正和负的稳定流形和不稳定流形。
不变流形的"不变"特性是指：在不施加外力的情况下，系统一旦处于不变流形上，将始终在该流形上演化。具体地：
- 稳定流形（Stable Manifold）：沿此流形演化的轨迹将渐近趋向于周期轨道
- 不稳定流形（Unstable Manifold）：沿此流形演化的轨迹将渐近远离周期轨道
不变流形本质上是一种特殊的混沌轨道——其运动状态虽然长时间来看是无规则的，但在一定条件下具有短时间的规则性。
不变流管
在系统 Jacobi 常数值较大的条件下，不变流形在空间中能够形成管状通道，称为不变流管（Invariant Manifold Tube）。
不变流管的分类：
- 稳定流管：汇聚向平动点周期轨道的管状结构
- 不稳定流管：从平动点周期轨道发散的管状结构
位于不变流管内部的轨道称为穿越轨道（Transit Orbit）——唯一一种能够从平动点一侧穿越到另一侧的轨道。位于不变流管外部的轨道称为非穿越轨道（Non-transit Orbit）——始终只在平动点一侧运动。不变流管是穿越轨道和非穿越轨道的边界，在没有外力的情况下，探测器不可能穿过不变流管。
"星际高速公路"
不变流形为地月低能转移提供了一种天然的低能耗通道，常被形象地称为**"星际高速公路"（Interplanetary Superhighway）**。
其动力学机制如下：
- 探测器从地球停泊轨道出发，沿稳定流形渐近接近 点附近的周期轨道
- 在 点附近，探测器沿不稳定流形渐近远离周期轨道，流向月球方向
- 整个过程理论上可以不消耗任何额外能量
Conley（1965）将平动点附近的相流结构归纳为四类运动形态：
| 运动类型 | 特征 |
|---|---|
| 周期轨道 | 从初始状态出发经过一段时间返回初始状态 |
| 不变流形 | 渐近趋向或远离周期轨道 |
| 穿越轨道 | 从平动点一侧穿越到另一侧 |
| 非穿越轨道 | 始终在平动点一侧运动 |
在地月低能转移中的应用
通过 点的内俘获型转移
点位于地球和月球之间，其不变流形为内俘获型低能转移提供通道。典型转移轨道分为三段：
- 从地球停泊轨道出发，与流向地球方向的稳定流形拼接
- 在 点附近周期轨道或穿越轨道上运行
- 从周期轨道出发，沿流向月球方向的不稳定流形进入月球停泊轨道
通过 点的外俘获型转移
Koon 等将日地月限制性四体问题分解为两个限制性三体问题（日地和地月），将地月 点稳定流管与日地平动点不稳定流管在庞加莱截面上拼接，得到了 Belbruno 所发现的弱稳定边界转移轨道，解释了困扰天体力学界十余年的理论问题。
不变流形与混沌控制的混合方法
不变流管本质上是一种暂时规则的混沌运动结构。在 Jacobi 常数值较大且 Lyapunov 轨道幅值较小时，不变流管在一定时间内保持规则的管状结构，但长时间积分后会变形和破裂。郑越（2019）将不变流管内的穿越轨道视为暂时规则的混沌轨道，通过混沌控制方法将混沌轨迹与穿越轨道拼接，实现了能耗与时间的权衡设计。
相关概念
参考文献
- 郑越. 地月三体系统低能转移轨道设计与控制[D]. 西北工业大学, 2019.
- Conley C C. Low energy transit orbits in the restricted three-body problem[J]. SIAM Journal on Applied Mathematics, 1968, 16(4): 732-746.
- Koon W S, Lo M W, Marsden J E, et al. Dynamical systems, the Three-Body Problem and space mission design[M]. 2000.
- Gómez G, Koon W S, Lo M W, et al. Invariant manifolds, the spatial three-body problem and space mission design[J]. Advances in the Astronautical Sciences, 2001.